我对共轭先验的混合有疑问。当我学习贝叶斯时，我曾多次学习并看到过共轭先验的混合。我想知道为什么这个定理如此重要，当我们进行贝叶斯分析时我们将如何应用它。

更具体地说，来自 Diaconis 和 Ylivisaker 1985 的一个定理说明了这样一个定理：

给定来自指数族的采样模型$p(y|\theta)$

更具体地说，给定先验，我们可以推导出后验：$p(\theta)=\int p(\theta|\omega)p(\omega)d\omega$

$p(\theta|Y)\propto\int p(Y|\theta)p(\theta|\omega)p(\omega)d\omega\propto\int \frac{p(Y|\theta)p(\theta|\omega)}{p(Y|\omega)}p(Y|\omega)p(\omega)d\omega\propto \int p(\theta|Y, \omega)p(Y|\omega)p(\omega)d\omega$

所以，

$p(\theta|Y)=\frac{\int p(\theta|Y, \omega)p(Y|\omega)p(\omega)d\omega}{\int p(Y|\omega)p(\omega)d\omega}$