是的，它在指数族中有一个共轭先验。考虑三个参数族 对于某些值，这是可积的，尽管我还没有完全弄清楚哪个（我相信和应该起作用 -对应于独立的指数分布所以这绝对有效，并且共轭更新涉及增加所以这表明也有效）。

$$\pi(\alpha, \beta \mid a, b, p) \propto \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right).$$ $(a, b, p)$$p \ge 0$$a < 0, b < 0$$p = 0$$p$$p > 0$

问题，并且至少部分原因没有人使用它，是 即归一化常数没有封闭形式。

$$\int_0^\infty \int_0^\infty \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right) = ?$$

看来你已经放弃了共轭。只是为了记录，我见过人们做的一件事（但不记得确切的位置，抱歉）是这样的重新参数化。如果是有条件的 iid，给定，使得，请记住 和 因此，您可以和重新参数化可能性并用作先验 $X_1,\dots,X_n$$\alpha,\beta$$X_i\mid\alpha,\beta\sim\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$

$$\mathbb{E}[X_i\mid\alpha,\beta]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} =: \mu$$ $$\mathbb{Var}[X_i\mid\alpha,\beta] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =: \sigma^2 \, .$$ $\mu$$\sigma^2$ $$\sigma^2\mid\mu \sim \mathrm{U}[0,\mu(1-\mu)] \qquad \qquad \mu\sim\mathrm{U}[0,1] \, .$$ 现在您已准备好计算后验并通过您最喜欢的计算方法对其进行探索。

理论上，β分布应该有一个共轭先验。这是因为

• beta 分布是指数族分布之一，并且
• 理论上应该可以推导出先验。参见，例如，维基百科，D Blei 关于指数族的讲座。

然而推导看起来很困难，引用A Bouchard-Cote 的指数族和共轭先验

一个重要的观察是，这个配方并不总是产生一个计算上易于处理的共轭先验。

与此一致，在D Fink 的 A Compendium of Conjugate Priors中没有 Beta 分布的先验。

Robert 和 Casella (RC) 碰巧在他们的书的示例 3.6（第 71 - 75 页）中描述了 beta 分布的共轭先验族，在 R 中介绍蒙特卡罗方法，Springer，2010。但是，他们引用了结果而没有引用来源。

为响应 gung 的详细要求而添加。RC 声明对于分布，共轭先验是“...的形式$B(\alpha, \beta)$

$$\pi(\alpha,\beta) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} x_0^{\alpha} y_0^{\beta}$$

其中是超参数，因为后验等于$\{\lambda, x_0, y_0\}$

$$\pi(\alpha,\beta \vert x) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} (xx_0)^{\alpha} ((1-x)y_0)^{\beta}."$$

该示例的其余部分涉及从进行重要性采样，以计算的边际似然。$\pi(\alpha,\beta \vert x)$$x$