$Z_i$也可以表示为具有分布函数的混合物

在哪里$\delta(x)=0$为了$x\lt 0$和$\delta(x)=1$为了$x\ge 1$. 因此，总和的分布函数$n$具有此分布的 iid 变量是这些分布的卷积。因为卷积是线性的，所以二项式定理给出了以下形式的答案

星星提醒我们这些是重复的卷积而不是产品。

注意卷积$\delta$只是添加一个常数零，并且卷积$F^{*k}$是总和的分布$k$iid 正常$(\mu,\sigma)$变量。因此，它是一个具有均值的正态分布$k\mu$和方差$k\sigma^2$. 这产生$F_n$作为混合物$(1-p)^n$次跳零（从$k=0$术语）连同$n$普通组件。

为了说明，该图显示了案例$n=5$在哪里$\mu=2$,$\sigma=1$， 和$p=1/3$.

左边是经验累积分布函数$2000$独立抽奖$Z$， 黑色。（这些绘图是通过将 Normal 和 Bernoulli 变量相乘然后相加，根据原始描述$Z$.) 一个情节$F_n$以红色叠加。它们几乎相同，这为公式提供了支持。

右边是连续的部分$F_n$（灰色）及其五个正常分量的图表，每个分量都适当缩放。来自的（离散）贡献$(1-p)^n$仅被描绘为高度为零的垂直线$(1-p)^n$.