机器算法验证 - 查找统计量的分布 - 吾爱随笔录

机器算法验证正态分布数据转换

2022-03-10 18:02:13

为考试而学习。无法回答这个问题。

让 $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ 独立同居 $\mathcal{N}(0,1)$ 随机变量。定义

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

和 $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$ ,

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

什么是分布 $\overline{W}_n$ , $S_n^2$ ?

在开始这样的问题时，我如何了解使用的最佳方法？

1个回答

这是一个把戏。

有条件地开启 $X_{3,i} = x$ 我们有 $W_i$ 等于

\frac{X_{1, i} + X_{2, i} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$ 这是因为对于固定

x

$x$ 这是两个独立的简单线性变换

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$ - 分布式变量

X_{1, i}

$X_{1,i}$ 和

X_{2, i}

$X_{2,i}$ . 何处，

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$ 具有正态分布。条件均值被视为 0，条件方差为（通过独立性假设）

V (W_{i} ∣ X_{3, i} = x) = \frac{V (X_{1, i}) + V (X_{2, i}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

由于条件分布 $W_i \mid X_{3,i} = x$ 不依赖于 $x$ 我们得出结论，这也是它的边际分布，即 $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

其余的来自独立正态随机变量的平均值和残差的标准结果。任何事情都不需要巴苏定理。

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