正如 Andy W 建议的那样，最简单的方法可能是使用季节性单变量时间序列模型。如果您使用 R，请尝试auto.arima()或ets()从预测包中尝试。

两者都应该可以正常工作，但一般的时间序列方法不会使用提供的所有信息。特别是，您似乎知道每年曲线的形状，因此最好通过相应地对每年的数据进行建模来使用该信息。以下是试图合并此信息的建议。

听起来某种 S 形曲线可以解决问题。例如，一个移位的逻辑： 对于第年和第周，其中、和是要估计的参数。是渐近最大值，控制增长率，时的中点。（将需要另一个参数来允许您描述的不对称性，即到时间的增长率比

$$\begin{equation} f_{t,j} = \frac{r_te^{a_t(j-b_t)}}{1+e^{a_t(j-b_t)}} \end{equation}$$ $t$$j$$a_t$$b_t$$r_t$$r_t$$a_t$$b_t$$f_{t,j}=r_t/2$$b_t$$b_t$. 最简单的方法是允许之前和之后取不同的值。）$a_t$$b_t$

可以使用每年的最小二乘法估计参数。每个形成时间序列的参数：，和。这些可以使用标准时间序列方法进行预测，尽管在的情况下，除了使用每个序列的平均值进行预测之外，您可能无能为力。周的值的估计只是，其中使用了、和的预测。${a_1,\dots,a_n}$${b_1,\dots,b_n}$${r_1,\dots,r_n}$$n=5$$j$$\hat{f}(6,j)$$a_6$$b_6$$r_6$

一旦开始观察第 6 年的数据，您将需要更新此估计值。获得每个新的观测值后，估计从第 6 年开始的数据的 S 形曲线（您至少需要三个观测值才能开始，因为有三个参数）。然后对使用截至第 5 年的数据获得的预测和仅使用第 6 年的数据获得的预测进行加权平均，其中权重分别等于和 . 这是非常临时的，我相信通过将其置于更大的随机模型的上下文中可以使其更加客观。尽管如此，它可能会为您的目的正常工作。$(40-t)/36$$(t-4)/36$

您的要求本质上是 Box Jenkins ARIMA 建模的作用（您的年度周期将被称为季节性组件）。除了自己查找材料，我建议

R McCleary 1980 年为社会科学应用时间序列分析；拉干草；EE梅丁格；D麦克道尔

尽管我可以想到为什么要进一步预测未来的合理原因（并因此在这样做时评估错误），但在实践中通常非常困难。如果你有很强的季节性成分，那将更可行。否则，您的估计可能会在相对较少的未来时间段内达到平衡。

如果您打算使用 R 来拟合您的模型，您可能应该查看 Rob Hyndman 的网站（希望他会给您比我更好的建议！）

您每年有 5 年的数据和 40 次观察。您为什么不将它们发布在网络上，让我们在零基础上实际回答这个问题，而不是在 500 英里高处进行哲学思考。我期待着数字。我们已经看到了这样的数据，例如每周在分时交易周进行交易的客户数量。每年的系列从零开始并累积到一个极限值。