给定独立性,产品的中位数是否等于中位数的乘积?

机器算法验证 独立 中位数 修剪平均
2022-03-20 19:32:47

问题:假设XY是独立的随机变量。Median(XY)=Median(X)Median(Y)? 如果是这样,如何证明这一点?如果不是,什么条件才能维持这种关系?

附加问题:这种关系是否成立α-修剪意味着?

更新:根据与@Glen_b 在他的回答的评论中的对话,以及@nikie 的贡献,似乎维持这种关系的充分条件是:1)独立性,和 2)至少一个分布的XY中位数为零。

2个回答

反例:

考虑XiUnif(0,1),i=1,2. 他们共同的中位数是12.

Y=X1X2. 中位数Y是关于0.1867, 小于(12)2:

制服的对数是标准指数的负数。两个指数随机变量的总和呈 gamma 分布,形状为 2,其中(对于比例 1)的中位数为 1.67834...因此,两个制服乘积的对数的中位数为 -1.67834。幂是单调的,所以两个制服的乘积的中位数是exp(1.67834...)0.1867

更直接地说,推导出产品的密度相对容易(f(y)=log(1/y),0<y<1),这意味着通过求解找到中位数mmlogm=12为了m(它有两种解决方案,但只有一种(0,1))。

附加问题:α修剪均值是否存在类似的关系?

是的,从某种意义上说,修剪后的平均值通常也不正确。

我怀疑但尚未证明关系成立的充分条件是:1)独立性,2)X 和 Y 都具有对称分布,以及 3)X 和 Y 的分布中至少有一个以零为中心。

我认为您不需要条件2)。

假设 X 的中位数为零。那么我们有4个案例:

  1. x>0, y>0

  2. x>0, y<0

  3. x<0, y>0

  4. x<0, y<0

x*y > 0 在情况 1 和 4 中为真。

如果 X 的中位数为 0,则 p(x>0) = 0.5

如果 X 和 Y 是独立的,则 p(x>0, y>0) = p(x>0) * p(y>0) (对于所有 4 种组合)

所以 p(x*y>0) = p(x>0)*p(y>0) + p(x<0)*p(y<0) = 0.5 (p(y>0)+p(y <0)) = 0.5

=> x*y 的中位数也是 0