问题:假设和是独立的随机变量。是? 如果是这样,如何证明这一点?如果不是,什么条件才能维持这种关系?
附加问题:这种关系是否成立-修剪意味着?
更新:根据与@Glen_b 在他的回答的评论中的对话,以及@nikie 的贡献,似乎维持这种关系的充分条件是:1)独立性,和 2)至少一个分布的和中位数为零。
问题:假设和是独立的随机变量。是? 如果是这样,如何证明这一点?如果不是,什么条件才能维持这种关系?
附加问题:这种关系是否成立-修剪意味着?
更新:根据与@Glen_b 在他的回答的评论中的对话,以及@nikie 的贡献,似乎维持这种关系的充分条件是:1)独立性,和 2)至少一个分布的和中位数为零。
反例:
考虑,. 他们共同的中位数是.
让. 中位数是关于, 小于
制服的对数是标准指数的负数。两个指数随机变量的总和呈 gamma 分布,形状为 2,其中(对于比例 1)的中位数为 1.67834...因此,两个制服乘积的对数的中位数为 -1.67834。幂是单调的,所以两个制服的乘积的中位数是
更直接地说,推导出产品的密度相对容易(),这意味着通过求解找到中位数为了(它有两种解决方案,但只有一种)。
附加问题:α修剪均值是否存在类似的关系?
是的,从某种意义上说,修剪后的平均值通常也不正确。
我怀疑但尚未证明关系成立的充分条件是:1)独立性,2)X 和 Y 都具有对称分布,以及 3)X 和 Y 的分布中至少有一个以零为中心。
我认为您不需要条件2)。
假设 X 的中位数为零。那么我们有4个案例:
x>0, y>0
x>0, y<0
x<0, y>0
x<0, y<0
x*y > 0 在情况 1 和 4 中为真。
如果 X 的中位数为 0,则 p(x>0) = 0.5
如果 X 和 Y 是独立的,则 p(x>0, y>0) = p(x>0) * p(y>0) (对于所有 4 种组合)
所以 p(x*y>0) = p(x>0)*p(y>0) + p(x<0)*p(y<0) = 0.5 (p(y>0)+p(y <0)) = 0.5
=> x*y 的中位数也是 0