动机

在模型选择后推理的背景下，Leeb & Pötscher (2005)写道：

尽管人们早就知道参数的一致性（至少是局部的）是渐近分析中的一个重要问题，但在计量经济学和统计理论的日常实践中，我们经常满足于证明逐点渐近结果，这一教训经常被遗忘（即，对于每个固定的真实参数值都成立的结果）。幸运的是，这种健忘症——以及由此产生的实践——没有显着的后果，只要在足够“规则”的模型中只考虑足够“规则”的估计量。然而，由于模型选择后的估计器非常“不规则”，因此这里的均匀性问题会猛烈地浮现出来。

背景

均匀收敛

假设估计量 alpha ) 在分布到某个随机变量时均匀地收敛（wrt ） 。那么对于给定的精度，我们总能找到一个样本大小，使得对于每个，的分布与 (即限制分布）对于每个最多。$\hat\theta_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon>0$$N_{\varepsilon}$$\alpha$$\hat\theta_{n}(\alpha)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

这在实践中很有用：

1. 在设计实验时，我们可以通过找到相应的将不精确度限制在所需的任意小水平上。$\varepsilon$$N_{\varepsilon}$
2. 对于大小为的给定样本，我们可以找到来限制不精确度。$N$$\varepsilon_N$

逐点（但不均匀）收敛

另一方面，假设一个估计器$\hat\psi_n(\alpha)$以逐点方式收敛（wrt$\alpha$）——但不均匀——分布到一些随机变量$Z$. 由于不均匀性，存在精度$\varepsilon_N>0$这样对于任何样本大小$N$我们总能找到一个值$\alpha_N$使得分布的距离$\hat\psi_{n}(\alpha_N)$和分布$Z$（即限制分布）将至少是$\varepsilon$对于一些$n>N$.

一些想法：

1. 这并没有告诉我们有多大$\varepsilon_N$将会。
2. 在设计实验时，我们不能再将我们的不精确性限制在任意$\varepsilon$通过寻找合适的$N_{\varepsilon}$. 但也许我们可以绑定$\varepsilon_N$在某个较低的水平，那么我们就不必担心它。但是我们可能并不总是能够将它绑定到我们想要的地方。
3. 我们可能会也可能不会找到$\varepsilon_N$限制给定大小样本的不精确性$N$.

问题

1. 缺乏一致的收敛性是否会使估计器在很大程度上无用？
   （我想，答案是“不”，因为很多论文都关注逐点收敛......）
2. 如果不是，那么非一致收敛估计器有用的一些基本示例是什么？

参考：

• Leeb, H. 和 Pötscher, BM (2005)。模型选择和推理：事实和虚构。 计量经济学理论，21 (01), 21-59。