我正在查看 Grimmett 的“一千个概率练习”中的以下问题，第 25 页，问题 16（不是家庭作业，只是自学）：

让和是独立的伯努利随机变量，。证明和尽管不相关，但相互依赖。$X$$Y$$p = 1/2$$X + Y$$|X − Y|$

现在，第 176 页给出的解决方案如下：

$\mathrm{cov}(X+Y, |X-Y|) = E[(X+Y)\cdot(|X-Y|)] - E[X+Y]\cdot E[|X-Y|]$

我可以解决

$E[X+Y] = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 1$

和

$E[|X-Y|] = (0)(1/2) + (1)(1/2) = 1/2$

但我不知道该怎么做

$E[(X+Y)\cdot(|X-Y|)]= ?$

书中协方差的解决方案是：

$1/4 + 1/4 - 1(1/2) = 0$

为了显示依赖性，本书提供了以下解决方案：

$P(X+Y=0, |X-Y|=0) = 1/4$不等于$P(X+Y=0)\cdot P(|X-Y|=0) = 1/8$