机器算法验证 - 我们可以从乙G( X) h (是) = EG( X) Eh (是)E⁡g(X)h(Y)=E⁡g(X)E⁡h(Y)那X, YX,Y是独立的吗？ - 吾爱随笔录

我们可以从乙G( X) h (是) = EG( X) Eh (是)E⁡g(X)h(Y)=E⁡g(X)E⁡h(Y)那X, YX,Y是独立的吗？

机器算法验证可能性数理统计参考随机变量独立

2022-03-05 04:45:03

好吧，我们不能，例如，请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence 以获得有趣的反例。但真正的问题是：有什么方法可以加强这种条件，从而实现独立吗？例如，是否有一些功能 $g_1, \dotsc, g_n$ 所以如果 $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ 对全部 $i,j$ 然后独立？而且，这样的一组函数必须有多大，无穷大？

此外，是否有一些很好的参考来处理这个问题？

1个回答

让 $(\Omega, \mathscr F, P)$ 是一个概率空间。根据定义，两个随机变量 $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ 是独立的，如果他们 $\sigma$ -代数 $S_X := \sigma(X)$ 和 $S_Y := \sigma(Y)$ 是独立的，即 $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ 我们有 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

让 $g_a(x) = I(x \leq a)$ 并采取 $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ （感谢@grand_chat 指出 $\mathbb Q$ 够了）。然后我们有

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$ 和

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

如果我们假设 $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$ 然后我们可以上诉

π - λ

$\pi-\lambda$ 证明的定理

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$ IE

X ⊥ Y

$X \perp Y$ .

因此，除非我犯了一个错误，否则我们至少有一个此类函数的可数集合，这适用于在公共概率空间上定义的任何一对随机变量。

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