我一直在努力协调我对概率分布的直观理解与几乎所有概率分布拓扑都具有的奇怪属性。

例如，考虑一个混合随机变量$X_n$：选择一个以 0 为中心、方差为 1 且概率为$\frac{1}{n}$， 添加$n$到结果。一系列这样的随机变量将收敛（微弱且完全变化）到以 0 为中心且方差为 1 的高斯分布，但$X_n$总是$1$并且方差收敛到$+\infty$. 我真的不喜欢说这个序列因此而收敛。

我花了相当长的时间来记住我忘记的关于拓扑的所有内容，但我终于弄清楚了这些例子让我如此不满意的地方：序列的限制不是传统的分布。在上面的示例中，极限是一个奇怪的“均值 1 和无限方差的高斯”。用拓扑术语来说，这组概率分布在弱（和电视，以及我看过的所有其他拓扑）下并不完整。

然后我面临以下问题：

• 是否存在一个拓扑使得概率分布的集合是完整的？

• 如果不是，那么这种缺失是否反映了概率分布集合的一个有趣特性？还是只是无聊？

注意：我已经表达了关于“概率分布”的问题。这些不能关闭，因为它们可以收敛到狄拉克和类似没有 pdf 的东西。但是在弱拓扑下措施仍然没有关闭，所以我的问题仍然存在

交叉发布到 mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339