如果有意义，我想讨论并询问有关高斯过程的傅立叶变换的问题。为此，让我描述以下情况。

让$z(s)$是某个空间 X 中的高斯过程（例如，$\mathbb{R}^2$）。我们可以在以下情况下构造这样的高斯过程（遵循 Higdon，1998）：

$$z(s) = k(s)\ast\nu(s) = \int_{X}k(u-s)\nu(s)du,$$

在哪里$\ast$是卷积算子，$k$是平滑核函数和$\nu(s)\sim\mathcal{N}(0,\lambda_s^{-1})$是一个白噪声过程。那么，如果$k$是各向同性的（仅取决于距离），可以简单地使用卷积定理计算其协方差：

$$\Sigma = cov(z(s), z(s')) = \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[k(s)\ast k(s')]] = \mathcal{F}^{-1}[K^2(w)],$$

在哪里$\mathcal{F}$和$\mathcal{F}^{-1}$分别是傅里叶和傅里叶逆变换算子，和$K(w)$是核函数的傅里叶变换。

我想实际使用我的数据的傅立叶光谱，这意味着我想在倒数空间中对我的高斯过程的参数空间进行采样。原因是我知道$k$是各向同性的，我有完整的形式$K$，因此在傅立叶空间中工作可以节省我对核函数进行傅立叶逆变换的计算成本（数据本身已经在傅立叶分量中，因此在傅立叶空间中工作将为我节省两次变换）。

我们知道高斯的傅里叶变换$\mathcal{N}(0, \sigma)$本身是高斯的$\mathcal{N}(0, \frac{1}{\sigma})$.

这是否意味着如果$z(s)\sim\mathcal{N}(0, \Sigma)$，其傅里叶变换为$Z(w)\sim\mathcal{N}(0, K^2(w))$?

任何评论、讨论和/或阅读建议都将受到欢迎！

谢谢你的进步！期待回复！