绘制对，iid 均匀分布在单位正方形中。计算这些对中有多少满足，让这个数字是。然后 $n$$(x,y)$$y<x^2$$k$

$$\mathbb P(Y<X^2) = \int_{[0,1]^2} \mathbb I_{y<x^2}\,\text d(x,y) = \int_0^1 x^2\,\text dx\approx\frac{k}{n}.$$

代码：

xx <- seq(0,1,by=.01)
plot(xx,xx^2,type="l",lwd=3)

n_sims <- 1e4
set.seed(1)
sims <- cbind(runif(n_sims),runif(n_sims))
index <- sims[,2]<sims[,1]^2
points(sims,pch=19,cex=0.4,col=c("red","black")[index+1])

sum(index)/length(index)

的著名练习的变体（实际上是，通过在单位正方形中使用四分之一圆）。$\pi$$\frac{\pi}{4}$

的代表

$$\mathfrak I = \int_0^1 x^2\,\text dx$$ 作为一个随机变量的期望是相当开放的，因为选择一个统一的（0,1）变量$U$这样 $$\mathfrak I = \mathbb E[U^2]$$ 不是唯一的选择。对于任何严格的正概率密度$f$超过$(0,1)$, 表示 $$\mathfrak I = \int_0^1 x^2\,f^{-1}(x)\,f(x)\,\text dx$$ 持有，意思是 $$\mathfrak I = \mathbb E^f[X^2\,f^{-1}(X)]$$ 可以在蒙特卡洛方案中利用： $$\mathfrak I = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2\,f^{-1}(X_i)\qquad X_i\sim f(x)$$ 的（形式上）最优选择是 Beta密度，因为得到的蒙特卡罗近似方差为零。$f$$\mathcal B(2,1)$

的黎曼近似，其中有足够的矩形来近似积分。然后进行蒙特卡罗积分，其中积分区间中均匀选择的点被替换为矩形底的中心。$\int_0^1 x^2\, dx = 1/3$

# Riemann approx with m rectangles
m = 1000; a = 0; b = 1
w = (b-a)/m  # rectangle widths
d = seq(a+w/2,b-w/2, len=m) # centers
h = d^2  # rectangle heights
sum(w*h) # rectamg;e areas
[1] 0.3333332

# MC emulates Riemann 
# with random uniform grid 
m = 10^6;  a=0;  b=1
w = (b-a)/m   # "average width"
d = runif(m, a, b)
h = d^2
sum(w*h)
[1] 0.3332943

附录 1： @Dave 评论中的每个问题：的密度函数的 MC 近似值，以验证它是否集成为一。$\mathsf{Beta}(2,2)$

# Approx integration: BETA(2,2) density 
m = 10^6;  a=0;  b=1
w = (b-a)/m 
d = runif(m, a, b)
h = dbeta(d, 2, 2)  # BETA(2,2) PDF
sum(w*h)
[1] 1.000299  # aprx 1

附录2：关于将MC扩展到多个维度。

假设我们要验证标准二元正态分布下单位平方中我们将点均匀地随机放置在单位平方中，并将它们对应的密度相加：$0.3413^2 = 0.1165$

set.seed(1234)
m = 10^4; u1=runif(m); u2 = runif(m)
h = dnorm(u1)*dnorm(u2)
mean(h)                 # mc aprx
[1] 0.1163528
diff(pnorm(c(0,1)))^2   # exact
[1] 0.1165162

此外，我们发现的三角形内标准二元正态分布我们在三角形中均匀随机放置点，将对应的密度值相加，乘以三角形面积的。[精确值可以通过对称获得，使用 45 度旋转。]$0.0677$$(0,0), (0,1), (1.0).$$1/2$

h.acc = h[u1+u2<=1]
.5*mean(h.acc)                # mc aprx
[1] 0.06768097
diff(pnorm(c(sqrt(1/2),0)))^2 # exact
[1] 0.06773003

或许请参阅 此问答以了解其他 MC 集成方法。