@gui11aume 当然是对的。特定于 a 的推导概述$\operatorname{Bin}(1,\pi)$分布如下：

1. 找出方差$\pi$重新参数化概率质量函数： $$\theta=\operatorname{Var}{Y_i}=\pi(1-\pi)$$
2. 找到最大似然估计$\theta$： $$\hat\theta=\frac{\sum{y_i}}{n}\left(1-\frac{\sum{y_i}}{n}\right)$$
3. 计算它的期望： $$\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E\hat\theta=\theta\cdot\frac{n-1}{n}.$$ 值得庆幸的是，偏置项是一个常数。
4. 写出无偏估计量： $$\tilde\theta=\frac{\hat\theta}{\frac{n-1}{n}}=\frac{\sum{y_i}}{n}\left(1-\frac{\sum{y_i}}{n}\right)\cdot\frac{n}{n-1}=p(1-p)\cdot\frac{n}{n-1}$$ 在哪里$p$是统计量$\frac{\sum{y_i}}{n}$

因为$\sum{y}$足够完整，$\tilde\theta$不仅是总体方差的任何无偏估计量，而且是唯一的最小方差无偏估计量。

这个答案不可能是正确的。估计器不能依赖于参数的值：因为它们是未知的，这意味着您无法计算估计值。

每个分布（具有有限二阶矩）的方差的无偏估计量是

$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2.$$

通过扩大平方并使用平均值的定义$\bar{y}$, 你可以看到

$$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \frac{2}{n(n-1)}\sum_{i\neq j}y_iy_j,$$

所以如果变量是独立同分布的，

$$E(S^2) = \frac{1}{n} nE(y_j^2) - \frac{2}{n(n-1)} \frac{n(n-1)}{2} E(y_j)^2.$$

如您所见，我们不需要假设变量具有二项式分布（除了隐含存在方差的事实）来推导这个估计量。