如果$X$和$Y$是独立的随机变量，那么也是$X$和$Z$独立随机变量$Z = -Y$. 现在，

$$\text{var}(Z) = \text{var}(-Y) = (-1)^2\text{var}(Y) = \text{var}(Y)$$ 所以

$$\text{var}(X-Y) = \text{var}(X + (-Y)) = \text{var}(X+Z) = \text{var}(X) + \text{var}(Z) = \text{var}(X) + \text{var}(Y)$$ 没有明确提到协方差这个词。

让$X,Y$是具有方差的随机变量$\sigma^{2}_{x}$和$\sigma^{2}_{y}$， 分别。这是一个事实${\rm var}(Z) = {\rm cov}(Z,Z)$对于任何随机变量$Z$. 这可以使用协方差和方差的定义来检查。所以，方差$X-Y$是

$${\rm cov}(X-Y,X-Y) = {\rm cov}(X,X)+{\rm cov}(Y,Y)-2\cdot{\rm cov}(X,Y)$$

这源于协方差的双线性。所以，

$${\rm var}(X-Y) = \sigma^{2}_{x} + \sigma^{2}_{y} - 2\cdot{\rm cov}(X,Y)$$

什么时候$X,Y$是独立的，协方差为 0，所以这简化为$\sigma^{2}_{x} + \sigma^{2}_{y}$. 因此，两个自变量之差的方差是方差之和。