你有

$$EX=\int_0^{\infty}xdF(x)$$

注意和并使用分部积分。$dF(x)=-d(1-F(x))$$P(X>t)=1-F(t)$

现在证明对于单调递减的正函数

$$\sum_{n=0}^\infty f(n)\ge\int_0^{\infty} f(t) dt$$

结合这两个结果，你会得到你想要的结果。第二个提示，回忆一下黎曼和。

为定义集合。$A_n=\{x\in \mathbb{R}:x>n\}$$n=0,1,2\dots$

对于任何固定，令的最小整数。由于，我们有 产生 $\omega$$n_0$$X(\omega)\leq n_0$$X(\omega)\geq 0$

$$X(\omega)\leq n_0 = \sum_{n=0}^{n_0} I_{A_n} (X(\omega)) = \sum_{n=0}^\infty I_{A_n} (X(\omega)) \, ,$$ $$\mathrm{E}[X]\leq \sum_{n=0}^\infty \mathrm{E}[I_{A_n} (X)]=\sum_{n=0}^\infty P(X>n) \, .$$

您没有指定有关的任何内容。它是一般情况/它的支持是什么？$X$

如果是针对离散的房车，能说一下两者之间的关系吗？

$\sum_{n = 0}^{\infty} n P(X = n)$ 和 ?$\sum_{n = 0}^{\infty} P(X > n)$

考虑：

$$\begin{eqnarray} &0 P(0)& +\, 1& P(1)& +\, 2 &P(2)& +\, 3 &P(3)& +& ...&\\ & &\\ &= & [ &P(1)& +&P(2)& +&P(3)& +& ...&]\\ & & [ & & +&P(2)& +&P(3)& + &...&]\\ & & [ & & & & +&P(3)& + &...&]\\ & & [& & & & & & &...&] \end{eqnarray}$$

你现在能找到一种方法吗？（虽然我相信这种方法比你有更强的结果）

要比离散情况更普遍地考虑它，请参阅此处，然后调整上述想法。

也就是说，你能看到如何在和一个看起来相似的积分之间建立关系，从而给出所需的不等式吗？$∑^∞_{n=0}P(X>n)$