使用通常的符号，ML 方法的对数似然是

$l(\beta_0, \beta_1 ; y_1, \ldots, y_n) = \sum_{i=1}^n \left\{ -\frac{1}{2} \log (2\pi\sigma^2) - \frac{(y_{i} - (\beta_0 + \beta_1 x_{i}))^{2}}{2 \sigma^2} \right\}$.

它必须相对于最大化$\beta_0$和$\beta_1$.

但是，很容易看出这相当于最小化

$\sum_{i=1}^{n} (y_{i} - (\beta_0 + \beta_1 x_{i}))^{2}$.

因此，ML 和 OLS 都导致相同的解决方案。

这些精美的讲义中提供了更多详细信息。

您正在关注问题中概念的错误部分。最小二乘的美妙之处在于它给出了一个很好的简单答案，而与分布无关，如果真实分布恰好是正态分布，那么它也是最大似然答案（我认为这是高斯-马尔科夫定理）。当您的分布不是正态分布时，ML 和 OLS 将给出不同的答案（但如果真实分布接近正态分布，则答案将相似）。

有限样本的唯一区别是，残差方差的 ML 估计器是有偏差的。它不考虑模型中使用的回归量的数量。