公历在闰年有七个工作日中的五个。因此机会并不准确$2/7$.

这本质上是1950 年普特南数学竞赛中的 B3 题：

$n$是从自然数中随机选择的。证明一年 12 月 25 日的概率$n$是星期三不是 1/7。

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在公历中，年份是$4$是闰年（与$7\times 52 + 2=366$天），但年份是的倍数$100$不是闰年（因此有$7\times 52+1=365$天），但年份是的倍数除外$400$是闰年。（我们中的许多人都记得最近的例外情况$2000$.) 这会创建一个$400$年周期包含$400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$闰年。

特别有趣的是，这个周期的总天数是七的整数倍：

$$400 \times (7\times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400+97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \operatorname{mod} 7.$$

这表明$400$年周期包括整数周。因此，一周中的几天的模式从一个周期到下一个周期是完全相同的。

因此，我们可以将这个问题解释为寻求机会$53$周日从任何$400$- 闰年的周期。蛮力计算（例如，使用 2001 年 1 月 1 日是星期一这一事实）表明$28$的$97$每个周期的闰年都有$53$星期日。因此机会是

$$\Pr(53\text{ Sundays}) = \frac{28}{97}.$$

请注意，这不等于28/98：它稍大一些。顺便说一句，有个星期三、星期五、星期六或星期一的机会相同，而只有的机会有个星期二或星期四。$28/98 = 2/7$$53$$27/97$$53$

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对于那些想要进行更详细计算（并且可能不相信任何数学简化）的人来说，这里是计算和检查给定年份的一周中的每一天的蛮力代码。最后，它显示一周中每天出现它写在. $53$R

这是周期的输出：$2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

这是代码本身。

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

是的，你的推理是正确的。从长远来看，闰年几乎同样可能从一周中的任何一天开始。因此，包括星期日在内的额外 2 天的机会约为 2/7。

w huber 指出，公历的一个怪癖导致闰年的开始日期分布不太均匀，因此 53 个星期日的真实概率比 2/7 大 1% 左右。但是，几乎可以肯定，2/7 是您的统计教科书的作者希望您找到的答案。