相关矩阵实际上是一组变量的协方差矩阵，这些变量已被重新调整为具有方差一个。

但是每个总体协方差矩阵都是半正定的，如果我们排除奇怪的情况（例如缺少数据，或者“数值模糊”将一个小特征值变为负值），那么每个样本协方差矩阵也是如此。

所以如果一个矩阵应该是一个相关矩阵，它应该是半正定的。

请注意，半定在这里很重要。在双变量情况下，将两个变量完全正相关，然后相关矩阵是，其特征值为和：零特征值意味着它不是正定的。$\pmatrix{1 & 1 \\ 1& 1}$$2$$0$

负特征值意味着通过对角化变换，随机向量将在某些分量中具有负方差。负方差永远不存在。

相关矩阵是半正定周期。然而，数值可能会拒绝承认这个数学事实，这取决于您如何得出相关矩阵的数值表示。

The solution is to choose a representation of your matrix that cannot fail to be positive semi-definite by representing the matrix in a suitable decomposed form. I am not up to scratch, but there are things like LUD decompositions or square root forms that essentially are unable to represent anything but truly positive semi-definite matrices and which you can usually update incrementally similarly to how you would update the full matrix, possibly even easier.