频率处的功率谱可以通过对阶 :$\lambda \in [-\pi,\pi]$$\gamma(\tau)$$\tau=-\infty,...,-1,0,1,...\infty$

$$f(\lambda) = \frac{1}{2\pi} \sum_{\tau=-\infty}^\infty \gamma(\tau) e^{-i\lambda\tau} \,.$$

使用在白噪声过程中 和 , 并且对于给定的，上面的表达式可以写成：$\gamma(-\tau) = \gamma(\tau)$$e^{-i\lambda\tau} = \cos(\lambda\tau) - i \sin(\lambda\tau)$$\cos(0)=1$$\sum_{\tau=-\infty}^\infty \sin(\lambda\tau) = 0$$\lambda$

$$f(\lambda) = \frac{1}{2\pi} \left( \gamma(0) + 2 \sum_{\tau=1}^\infty \gamma(\tau) \cos(\lambda\tau) \right) \,.$$

$\gamma(0)$是过程的方差，而在白噪声过程中剩余的协方差为零，对于 0 。因此，我们留下了常数：$\gamma(\tau)=0$$\tau\neq 0$

$$f(\lambda) = \frac{\gamma(0)}{2\pi} \,.$$

根据频域的这种观点，白噪声过程可以看作是无数个不同频率的周期之和，其中每个周期具有相同的权重。

标题中的问题与文本中的问题或评论中描述的问题不同。

无限长序列的傅里叶变换是离散时间傅里叶变换，它是频率变量的（复值）周期函数$\omega$. 另请参阅@javlacalle 的回答。因此，它不能是“平坦的”，除非函数是一个常数，或者一个包含任何复数的幅度$1$在“平面”的概念中。此外，当序列是白噪声（正常）过程（即 iid（正常）随机变量的序列）的实现时，序列的傅里叶变换因实现而异，令人难以置信的是，所有这些傅里叶变换中的一个在任何意义上都被证明是“平坦的”。

因此，问题标题中要求的内容毫无意义。

正如 whuber 所指出的，问题文本中提出的问题本质上是白噪声的定义。最好从有限方差的独立同分布随机变量序列开始解决定义白噪声的问题$\sigma^2$并注意到自协方差函数是单位脉冲函数。借用 javlacalle 的符号，$\gamma(0) = \sigma^2$， 和$\gamma(n) = 0$ 对于所有其他整数$n$. 由此可见，功率谱密度（根据 Wiener-Khinchin 定理的自协方差的傅里叶变换）是一个常数（这就是为什么将噪声过程称为白噪声，错误地类比为平面混合的白光波长，而不是频率）。

实际上，您的问题非常合理。但是，需要以稍微不同的方式询问。您需要指定周期图纵坐标的分布并进行统计检验以检查您的真实数据是否符合该分布。一种尝试是我们最近的论文