协方差矩阵比相关矩阵包含更多信息：

• 您可以从协方差矩阵导出相关矩阵。
• 但是您不能仅使用相关矩阵推导出协方差矩阵！（您还需要标准偏差。）

协方差矩阵包含以下所有信息：(i) 相关矩阵加上 (ii) 标准差向量。在某种意义上，协方差矩阵是更紧凑、在数学上更方便使用的对象。

另一个使用协方差的例子：

我将举一个明显不涉及回归的简单财务示例：

• 假设有可能的投资资产。$n$
• 令为资产的协方差矩阵。$\Sigma$$n$
• 令为表示资产的投资组合权重的向量。$w$$n$

然后投资组合方差由矩阵方程给出：

$$w^\top \Sigma w$$

您不能使用相关矩阵简洁地编写此公式。

最小化方差的投资组合将是以下问题的解决方案：

$$\begin{align*} \text{minimize (over $w$) } \quad w^\top \Sigma w \\ \text{ subject to: }\quad\quad \quad w^\top 1 = 1 \end{align*}$$

请注意，这与最小化投资组合收益的标准差相同。

对于涉及两个或多个随机变量的任何问题，协方差是一个相当普遍的概念。它无处不在。最好开始习惯吧！

这完全取决于您在描述线性回归时如何编写相关参数。

对于随机变量和 ，根据 的最佳（在线性最小均方误差的意义上）估计通常写为 然后声称是 的分数，已被 “解释” 。所有这一切都会让你大发雷霆，并宣称协方差是一个完全无用的概念。但是有些人（不是很多）喜欢把写成$X$$Y$$Y$$X$

$$\hat{Y} = \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X-\mu_X) + \mu_Y\tag{1}$$ $\rho^2$$\sigma_Y^2$$X$$(1)$

$$\left(\hat{Y} -\mu_Y\right) = \left.\left. \frac{\operatorname{cov}(Y,X)}{\operatorname{var}(X)} \right(X-\mu_X\right)\tag{2}$$

并说估计 与其均值的偏差和和的 方差具有相同的比率，而解释的方差只是。您是否愿意听取他们的论点，即协方差是更基本的概念，而相关系数只是一些没什么兴趣的 gobbledygook？为什么，如果它的名字是 Pearson 或 Spearman，它甚至都无法下定决心！$\hat{Y}$$X$$X$$Y$$X$$\displaystyle \frac{\operatorname{cov}^2(Y,X)}{\operatorname{var}(X)}$

我有同样的问题。似乎协方差的值本身是没有意义的。您可以通过协方差本身唯一知道的是，协方差是一个正数，表示群体表现出相似的行为，而协方差是一个负数，表示群体表现出相反的行为。

但是，协方差的值是其他计算的必要组成部分。在金融中，（股票和市场的）协方差/市场方差 = Beta 值。这是一件有用的事情。

因此，协方差的大小本身是没有意义的，但与其他事物结合起来，它提供了意义。