在我在这里的讨论中，我假设你的$\theta$实际上是一个经度和$\phi$实际上是一个纬度。也许更典型的球坐标使用从北极向下而不是从赤道向上的角度，并从中交换两个符号的角色 - 但无论哪种方式处理它都没有问题，所以我会坚持你的符号似乎是。

请注意，这里不关心半径的分布，只关心角度，所以我们可以在不改变角度的情况下将所有东西投影到一个单位球体上。这在正常情况下非常有用。

对于像三维标准法线这样的球对称分布，倾角分布的出现与以下事实有关：赤道附近的球体表面上的面积比两极附近的面积大得多。

如果您通过数学（或根据类似于早期的二维问题的概率元素编写几何参数），您可以得到倾斜的密度应该与$\cos(\phi)$. 这是一个几何论点，应该用“概率元素”术语来激发它：

因为赤道的半径是1，纬度的半径是$\phi$是$\cos(\phi)$, 纬度周长$\phi$正比于$\cos(\phi)$，因此密度为$\phi$正比于$\cos(\phi)$.

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均匀情况：使用 3D 均匀归一化为恒定半径，球体上的密度不均匀，原因与我们在 2D 情况下没有的相同 - 当你投影到球体上时，还有更多“ “密度”在球体上靠近角的角度比边的位置（靠近边缘中间的部分介于两者之间） - 因为靠近角落的角度比角度有更多的立方体体积靠近脸的中间。

我们可以通过在立方体中均匀地生成许多随机值并将它们投影到球体上来看到这一点。由于角落附近的体积比立方体的面附近的体积大，因此从角落“向内”看的密度比正面要大。如果我们绘制高度（回想一下，这是一个投影 z 值，$z^* = z/r$， 在哪里$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$）在赤道上方对经度，我们得到下面的顶部图：

该高度对应于上图中直角三角形的垂直边；那个高度是$\sin$的$\phi$($z^*=\sin(\phi)$）。将其转换为纬度（$\phi$)，我们将采用投影垂直高度的反正弦值，这就是我们在下图中看到的。我们越接近极点，这就越“拉伸”事物，使得作为纬度函数的密度在北极和南极下降到 0（对于均匀情况和正常情况）。

密度为$\phi$然后将是该二元密度的积分$\theta$.

看着边缘$\theta$（即以固定值运行的条带$\theta$) 使得密度的四个峰值$\theta$正如您所注意到的 - 实际上这直接来自 2D 案例，但正如我们现在所看到的，它也导致了密度的一对峰值$\phi$远离赤道，对应于单位球体表面上立方体的角和上/下边缘投影的区域。

球面纬度的互补累积分布$\phi$给出立方体中的随机点的机会$[-1,1]^3$将位于绘制函数的圆锥上方$z = \cot(\phi)\sqrt{x^2+y^2}$. 因为这些点均匀分布在整个立方体（体积为$8$)，这个机会是圆锥体和立方体顶部之间体积的八分之一。当纬度超过$\pi/4$, 这个体积是一个有高度的正锥体的体积$1$和基地$\cot(\phi)$， 等于

$$F_{+}(\phi) = \frac{1}{8}\frac{\pi}{3}\cot^2(\phi).$$

参见图中右侧的两个图。

当纬度小于$\arctan(1/\sqrt{2})$，这是一个半无限圆锥和立方体相交的体积。极坐标中的积分给出了表达式

$$F_{-}(\phi) = \frac{1}{8}\left(4-\frac{4}{3} \tan (\phi ) \left(\sqrt{2}+2 \tanh ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right)\right).$$

参见图中最左边的两个图。

这些表达式的负导数给出密度。之间$\arctan(1/\sqrt{2})\approx \pi/5$和$\pi/4$是一个过渡区域，圆锥与立方体的交点很复杂。尽管可以开发出精确的表达方式，但它会很混乱。我们所知道的是，密度必须从导数不断变化$-F_{-}$的导数$-F_{+}$作为$\phi$在这些点之间变化。这显示在一百万个模拟值的直方图中（仅来自立方体的上半部分——下半部分将是镜像）。黄金曲线是$-\frac{d}{d\phi}F_{-}$而右边的红色曲线是 $-\frac{d}{d\phi}F_{+}.$

这澄清了为什么模式不在$\phi=\pm \pi/4$, 但必须介于这些值之间$\pm \arctan(1/\sqrt{2})$.