SPSS 算法指出，在弗里德曼测试后进行成对比较时，他们使用邓恩(1964) 程序。我没有读过 Dunn 的原始论文，所以我不能说 SPSS 是否正确地遵循了它，但我只是按照上述 SPSS 算法文档对弗里德曼的测试及其事后成对比较进行了编程，我确认没有错误，我的结果与问题中显示的 SPSS 输出和 OP 相同。（在这里查看我的代码）。

根据邓恩的方法（如 SPSS 所执行的那样），检验统计量只是被比较的两个样本（变量）的平均值的差异，即在将值转换为案例内的等级后的差异。（这是弗里德曼测试计算留下的排名，即每个案例中 [在我们的示例数据中] 值的排名，并为平局分配平均排名。）统计的 St. 错误是。它将测试统计量划分为插入 st 的正态分布以给出（Bonferroni 尚未校正的）2 面显着性。$k$k=3$\sqrt{k(k+1)/(6n)}$$Z$

这个对比测试看起来很保守。它没有称赞这对V1-V2重要：Z=1.838, p=.066尽管综合弗里德曼是非常重要的：p=.002。相比之下，对的符号测试V1-V2（无论您是在原始值上还是在弗里德曼左边的行列上执行它，它都是相同的）具有Z=3.575, p=.0004.

SPSS“邓恩方法”相当保守的一个原因是它的st。误差公式占所有变量，而不是 2 个变量。$k$

它不如 Sign 测试强大的另一个原因是它基于所有案例，包括那些有 ties 的案例，而 Sign 测试丢弃了有ties的案例；我们的数据中有很多相关的案例。例如在这个Q/A中观察到了权力问题以及在诸如 Sign 等测试中处理关系的问题。$n$

V1对于有关系的情况，我V2以随机方式解开它们（通过添加负噪声或正噪声），并计算符号测试（当然现在基于所有例）。500 次这样的试验给了我，现在离观察到的 Dunn's 的保守主义道路越来越近了。$n$mean Z=1.927Z=3.575Z=1.838

我对 SPSS 的“Dunn”成对比较不满意，因为它们太保守/太弱了。我们预计，如果综合测试很重要，事后测试将经常确认它，如果不是的话。在我们的示例中，即使 Bonferroni 未校正的 p 值也无法支持综合结论。

SPSS 在采用弗里德曼事后测试的“邓恩方法”（最初为 Kruskal-Wallis 提出；另见此Q/A）方面是否完全正确？我不能说，几乎不是多重比较方面的专家。我会鼓励知道它的人在此线程上发表评论或发布非常有用的答案。

PS 我很清楚，虽然弗里德曼检验可以看作是符号检验从 2 到个样本（变量）的扩展，但弗里德曼之后的成对事后检验不是也不应该完全是符号检验。也不是 Wilcoxon 配对样本检验。“Dunn 方法”（如果适用于配对样本情况）在事后看起来是合理的，因为它比较了弗里德曼获得的“水平”排名并反映了所有个样本，而无需进一步排名。然而，困扰我的是，在帖子的示例中，这种方法显得过于保守。$k$$k$

后期加法。对我来说，在弗里德曼在 SPSS 中的测试之后实施的邓恩方法是不正确的。它不会以与父综合测试 (Friedman) 相同的方式调整关系。实际上，它根本不会针对关系进行调整，而应该。（在上面的当前答案中涉及到关系处理的问题。）

弗里德曼检验统计量的公式（在SPSS 算法中解释）为

公式的分母包含平局的调整。如果，则数量是两个变量相等（并列）的情况的比例。$k=2$$\Sigma T/[nk(k^2-1)]$

考虑使用我们的变量V1和V2( ) 执行的弗里德曼检验。有关系的病例比例为，检验统计量具有显着性。但是按照 SPSS 公式计算的“邓恩”比较将是$k=2$287/400=.717513.460, df=1p=.00024

Sample1  Sample2  MeanRank1 MeanRank2 TestStat  StError   Z    Sig2side  AdjSig
  V1       V2      1.54875   1.45125   .0975     .0500  1.9500  .05118  .05118

无关紧要。为什么？没有对领带进行适当的（弗里德曼风格）调整。

在数据中只有样本的情况下，正确的事后成对比较测试必须给出与综合测试相同的结果（统计量和 p 值）——它实际上是证明事后测试对应的属性（是同构）到父综合测试。Kruskal-Wallis 检验和 Dunn 检验确实如此 - 只需按照 SPSS 算法对其进行编程，并使用两个独立组进行测试，KW 和 Dunn都会得到相同的结果。但我们看到，弗里德曼检验与“邓恩方法”后弗里德曼比较检验之间的关系不存在类似的等价性。$k=2$V1V2p=.0153

结论。在弗里德曼检验有缺陷后，SPSS（版本 22 及更早版本）正在执行事后多重比较检验。也许没有关系时是正确的，但我不知道。事后检验并没有像弗里德曼那样处理关系（虽然它应该这样做）。关于圣的公式，我无话可说。错误，sqrt[k*(k+1)/(6n)]他们正在使用：它来自离散均匀分布，但他们没有写出如何；这是正确的吗？要么“邓恩检验方法”不适用于 SPSS，要么邓恩检验根本不能适应弗里德曼。

我（通过ResearchGate 问题）在 PMCMR 包的小插图中发现了很多好东西（现在不赞成使用），包括Nemenyi ⁽¹⁹⁶³⁾和Conover ⁽¹⁹⁹⁹⁾PMCMRplus的事后测试。小插图（引用Conover，^{1999 年} ， Quade 测试比 Friedman 测试更强大，并且在这些包中也实施了针对该测试的事后测试。它的成对比较似乎给出了与综合测试一致的更令人满意的结果。$k<5$

还要注意下面引用的弗里德曼测试的一些注意事项。按照这个逻辑，我一直在使用常规的旧 Tukey post hocs 对秩转换数据进行重复测量方差分析。这在 R 代码方面需要做更多的工作，但在 SPSS 中应该很容易......只需确保在一个大向量上进行秩转换，该向量同时汇集所有重复测量，而不是独立地对每个测量进行秩转换（这给我的一个合作者带来了问题）！在 Niksr 的案例中，这种方法的结果似乎也令人满意（见下文）。

引自 T. Baguley 的博客，当心弗里德曼测试！

弗里德曼测试的排名仅取决于每个参与者的分数顺序——他们完全忽略了参与者之间的差异。这与保留参与者之间差异相对大小的信息的 Wilcoxon 测试有很大不同。Zimmerman 和 Zumbo (1993)...解释说弗里德曼测试...不是真正的 ANOVA 形式，而是符号测试的扩展...

检验或 Wilcoxon 符号秩检验，符号检验的功效往往较低。实际上，弗里德曼检验相对于方差分析的渐近相对效率为，其中是重复测量的次数（参见 Zimmerman 和 Zumbo，1993 年）。因此，J = 3 时约为 0.72，时约为0.76$t$$.955 J/(J+1)$$J$$J = 3$$J = 4$，这意味着当满足假设时，相对于 ANOVA 的功率会受到相当大的打击。这是一个大样本限制，但小样本的功效也应该大大降低，因为符号检验和弗里德曼检验实际上会丢弃信息。符号检验的额外稳健性有时可能证明其应用是合理的（因为它在重尾分布方面可能优于 Wilcoxon），但对于弗里德曼检验似乎并非如此。因此，在单向重复测量 ANOVA 不合适的情况下，秩变换后跟 ANOVA 将提供比弗里德曼检验更稳健的检验，具有更大的统计功效。

果然，秩转换的 RMANOVA 确实产生了比 Niksr 案例中的弗里德曼检验至于什么是弗里德曼测试的合适的事后，我仍然想知道自己，所以请原谅这里缺乏明确的答案，如果你能帮助整理选择，请自由评论或编辑——似乎有很多. 我下面的代码演示了Niksr 数据中使用默认值进行值调整的五个选项的结果。请注意，默认值因测试而异，这可能会使它们更难比较。如果相同的调整在此答案中更有用，我也愿意对此提出建议/编辑。$p$PMCMRplus$p$

R代码

library(foreign);library(PCMCRplus);library(car);library(lme4);library(multcomp)
CVd8a=read.spss(file.choose(),use.value.labels=T,max.value.labels=Inf,to.data.frame=T)
quade.test(as.matrix(CVd8a))                                  #this is in the stats package
quadeAllPairsTest(CVd8a)                                      #this requires PMCMRplus

CVd8L=stack(CVd8a);CVd8L$PID=rep(1:nrow(CVd8a),ncol(CVd8a))   #long format for RMANOVA in R
Anova(lmer(rank(values,'keep')~ind+(1|PID),CVd8L),3,'F')  #1-way RMANOVA, type 3 SS, F test
summary(glht(lmer(rank(values,'keep')~ind+(1|PID),CVd8L),mcp(ind='Tukey')))
cld(lsmeans(lmer(rank(values,'keep')~ind+(1|PID),CVd8L),'ind'))     #compact letter display

# Various Post hocs explicitly intended to follow the Friedman test:
frdAllPairsNemenyiTest(CVd8a)
frdAllPairsConoverTest(CVd8a)
frdAllPairsMillerTest(CVd8a)
frdAllPairsSiegelTest(CVd8a)
frdAllPairsExactTest(CVd8a)

输出（删节）

Quade test
Quade F = 6.5769, num df = 2, denom df = 798, p-value = 0.001469

Pairwise comparisons using Quade's test with TDist approximation
   V1     V2    
V2 0.0034 -     
V3 0.0057 0.7832
P value adjustment method: holm

Analysis of Deviance Table (Type III Wald F tests with Kenward-Roger df)
                    F Df Df.res    Pr(>F)    
(Intercept) 1894.7708  1 830.45 < 2.2e-16 ***
ind            6.4579  2 798.00  0.001651 ** 

         Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
Linear Hypotheses:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
V2 - V1 == 0  -49.311     14.934  -3.302  0.00292 **
V3 - V1 == 0  -43.006     14.934  -2.880  0.01127 * 
V3 - V2 == 0    6.305     14.934   0.422  0.90644   
(Adjusted p values reported -- single-step method)

 ind   lsmean       SE     df lower.CL upper.CL .group
 V2  581.9612 14.50235 830.45 553.4957 610.4268  1    
 V3  588.2662 14.50235 830.45 559.8007 616.7318  1    
 V1  631.2725 14.50235 830.45 602.8069 659.7381   2   
Degrees-of-freedom method: satterthwaite 
Results are given on the rank (not the response) scale. 
Confidence level used: 0.95 
P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates 
significance level used: alpha = 0.05 

Nemenyi-Wilcoxon-Wilcox all-pairs test for a two-way balanced complete block design
   V1   V2  
V2 0.16 -   
V3 0.24 0.97
P value adjustment method: single-step

Conover's all-pairs test for a two-way balanced complete block design
   V1     V2    
V2 0.0039 -     
V3 0.0141 0.9155
P value adjustment method: single-step

Miller / Bortz et al. / Wike all-pairs test for a two-way balanced complete block design
   V1   V2  
V2 0.18 -   
V3 0.27 0.97
P value adjustment method: none

Siegel-Castellan all-pairs test for a two-way balanced complete block design
   V1   V2  
V2 0.20 -   
V3 0.22 0.82
P value adjustment method: holm

Eisinga, Heskes, Pelzer & Te Grotenhuis all-pairs test with exact p-values for a two-way
balanced complete block design
   V1   V2  
V2 0.21 -   
V3 0.22 0.82
P value adjustment method: holm

我使用dunn.testR 包对您的数据进行了 Dunn 测试，结果如下：

> library(foreign, pos=14)

> Dataset <- read.spss("/Users/Friedman_Sample.sav", use.value.labels=TRUE, 
+   max.value.labels=Inf, to.data.frame=TRUE)

> colnames(Dataset) <- tolower(colnames(Dataset))

> library(relimp, pos=15)

> showData(Dataset, placement='-20+200', font=getRcmdr('logFont'), maxwidth=80, 
+   maxheight=30, suppress.X11.warnings=FALSE)

> local({
+   .Responses <- na.omit(with(Dataset, cbind(v1, v2, v3)))
+   cat("\nMedians:\n") 
+   print(apply(.Responses, 2, median)) 
+   friedman.test(.Responses)
+ })

Medians:
v1 v2 v3 
 5  5  5 

    Friedman rank sum test

data:  .Responses
Friedman chi-squared = 12.117, df = 2, p-value = 0.002338


> dunn.test(Dataset)
  Kruskal-Wallis rank sum test

data: Dataset and group
Kruskal-Wallis chi-squared = 6.8206, df = 2, p-value = 0.03


                        Comparison of Dataset by group                         
                                (No adjustment)                                
Col Mean-|
Row Mean |          1          2
---------+----------------------
       2 |  -2.399474
         |     0.0082
         |
       3 |  -2.092674   0.306799
         |     0.0182     0.3795

由于问题已经过去了一年，我不确定您是否解决了这个问题。最近我遇到了同样的困惑，我在 SPSS 中进行弗里德曼测试后得到了显着的结果，但我不知道意义从何而来，而且似乎 spss 无法进行 Dunnt 的后测。

我查看了其他资源和统计信息，我的回答是：首先，不要担心你之前的结果。弗里德曼的假设不是后测的假设；其次，spss 无法进行 Dunnt 后测，但我们可以使用 Wilcoxon 符号秩，限制是您应该将样本配对并使用 bofferonie 校正来降低类型 1 错误。