通常情况下，似乎有多个多变量选择似乎对应于某个单变量密度——并不总是自然的；因此，我们的论文标题为“多元指数分布”，而不是“多元指数分布”。

拉普拉斯可能也是如此——这取决于您希望继承哪些属性，哪些属性不是那么重要，以及您想要支持哪种依赖结构。

本文中有一个这样的多元分布的例子 -

Torbjørn Eltoft、Taesu Kim 和 Te-Won Lee（2006 年）
关于多元拉普拉斯分布
IEEE 信号处理快报，卷。13、5月5日

- 在论文中采用这种形式（我没有检查他们的代数！）：

$$p_\mathbf{Y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{(2\pi)^{(d/2)}} \frac{2}{\lambda} \frac{K_{(d/2)-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\lambda}q(\mathbf{y})}\right)}{\left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}q(\mathbf{y})}\right)^{(d/2)-1}}$$

在哪里

$$q(\mathbf{y})= (\mathbf{y-\mu})^t\Gamma^{-1}(\mathbf{y-\mu})$$

其中是位置向量，正定扮演类似于方差-协方差矩阵的多元“尺度”的角色，其中 阶的修正 Bessel 函数处求值.$\mu$$\Gamma$$K_m(x)$$m$$x$

本文(pdf)的第 2 页提到了三种不同的多元拉普拉斯分布，该分布本身讨论了非对称多元拉普拉斯分布

如果您只希望有拉普拉斯边际分布，并且想要它们之间的一般关联形式，您可能需要研究copulas。除了一些介绍性的论文（其中提到了一些），Nelsen 和 Joe 的书可读性很强。

对于那些希望了解多元拉普拉斯在二维情况下的样子的人，我使用 Wolfram Mathematica 代码附上了均值为 0、标度为 1 和恒等协方差的拉普拉斯直方图

生成代码为：

y= RandomVariate[LaplaceDistribution[],100000];
x= RandomVariate[LaplaceDistribution[],100000];
Histogram3D[Thread[{x,y}],{75,75}, PDF]

以下结果有助于理解多元拉普拉斯的样子：具有协方差矩阵的对称多元拉普拉斯$\Sigma$可以表示为$X\simeq \sqrt{W} \times Y$， 在哪里$Y\simeq \mathcal{N}_d(0,\Sigma)$是具有协方差的多元高斯分布$\Sigma$， 和$W$是一个均值为 1 的指数随机变量，并且独立于$Y$（参见本书中的定理 6.3.1 ）。请注意，二元拉普拉斯的 2 个分量不是独立的（即使在相关的情况下$\rho=0$）。

import random
import numpy as np

rho = .8
Sigma = [[1,rho], [rho,1]]
chol = np.linalg.cholesky(Sigma)

# multivariate laplace = sqrt(W) * N(0,Sigma)
gaussian_points = [chol.dot([random.gauss(0,1),random.gauss(0,1)]) for k in range(2000)]

sqrt_exponential_draws = [np.sqrt(random.expovariate(1)) for k in range(2000)]
bivariate_laplace = [sqrt_exponential_draws[k]*gaussian_points[k] for k in range(2000)]