您必须假设任何盒子中的设备都是独立的。 在这种情况下，任何盒子中的工作设备的数量必须服从二项分布。参数为（箱内设备数量）和（工作速率）。$400$$.95$

假设您保证每个盒子工作您是说所有此类盒子中至少有 95% 包含个或更多工作设备。在随机变量和分布的语言中，您断言二项式变量等于或超过的机会至少为。通过计算 = 第 5 个百分位可以找到解决方案。唯一微妙的部分是，由于这是一个离散分布，我们应该注意不要在我们的答案中脱颖而出。$k$$k$$(400, 0.95)$$k$$95\%$$100-95$

R告诉我们第五个百分位是：$k=373$

qbinom(.05, 400, .95)

373

让我们通过计算等于或超过此值的机会来检查：

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9520076

（至少对我来说，有点违反直觉的是，函数的lower.tail=FALSE参数不包括其参数的值。因此，计算与严格大于的结果相关的机会。）Rpbinompbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)k

作为仔细检查，让我们确认我们不能保证更大的值：

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9273511

因此，的阈值落在这两个连续概率之间。$0.95$

换句话说，我们发现

从长远来看，的盒子将包含或更多的工作设备，但只有的盒子将包含或更多的工作设备。因此，如果我们希望或更多的盒子符合这个标准，我们不应该保证超过$95.2\%$$k=373$$92.7\%$$374$$373$$95\%$

顺便说一句，对于这个特定问题，正态分布是一个很好的近似值。（我不会显示你会得到的答案，而是让你来计算，因为你只要求提供有关如何设置问题的信息。）

此图将二项式分布函数与其近似正态概率进行比较。

两者并不完全一致——但在附近，它们确实非常接近。$k=373$

“至少”从“至少 95%”表示“最小”。

代码：

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

结果：

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

当我看到这个时，我看到该比率的最小值是 89%。这意味着在 50 万次尝试中，最坏的情况是 89% 有效。

400 的 89% 是 356。这给出了大约 100%，而不是 95%。实际的 100% 可能低于此值。

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

产量：

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

400 的 93.25% 是 373。这不是数据的边缘，而是内部，所以它可能是一个很好的估计。您的答案将接近 373。