机器算法验证 - Glivenko-Cantelli 定理 - 吾爱随笔录

Glivenko -Cantelli 定理指出，如果 $F$ 是分布函数， $X_1,\dots,X_n \sim F$ ，和 $\hat{F}_n$ 是经验分布函数，则

\begin{matrix} (1) & sup_{x \in R} | {\hat{F}}_{n} (x) - F (x) | \overset{a . s .}{\to} 0 . \end{matrix}

$\sup_{x \in \mathbb{R}} \lvert \hat{F}_n(x) - F(x) \rvert \xrightarrow{a.s.} 0 . \tag{1}$

这与简单地陈述以下内容有何不同？

\begin{matrix} (2) & {\hat{F}}_{n} (x) \overset{a . s .}{\to} F (x) \end{matrix}

$\hat{F}_n(x) \xrightarrow{a.s.} F(x) \tag{2}$

几乎可以肯定地使用收敛的定义，从（1）：

\begin{aligned} P (lim_{n \to \infty} | sup_{x \in R} | {\hat{F}}_{n} (x) - F (x) | | = 0) & = 1 \\ (1a) & P (lim_{n \to \infty} sup_{x \in R} | {\hat{F}}_{n} (x) - F (x) | = 0) & = 1 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{P} \left( \lim_{n\rightarrow\infty} \left\lvert \sup_{x \in \mathbb{R}} \lvert \hat{F}_n(x) - F(x) \rvert \right\rvert = 0 \right) &= 1 \\ \mathbb{P} \left( \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \lvert \hat{F}_n(x) - F(x) \rvert = 0 \right) &= 1 \tag{1a} \end{align*}$

几乎可以肯定地使用收敛的定义，从（2）：

\begin{aligned} (2a) & P (lim_{n \to \infty} | {\hat{F}}_{n} (x) - F (x) | = 0) = 1 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{P} \left( \lim_{n\rightarrow\infty} \left\lvert \hat{F}_n(x) - F(x) \right\rvert = 0 \right) = 1 \tag{2a} \end{align*}$

对我来说，似乎 (1a) 和 (2a) 是等价的陈述，因为上界最小，因此 (1) 和 (2) 是等价的陈述。但我有一种感觉，我错过了一个微妙的区别，否则我会认为这个定理只会用更简单的方式来表述（等式（2））。