机器算法验证 - 区间联合上的截断正态分布 - 吾爱随笔录

区间联合上的截断正态分布

机器算法验证可能性分布截断正态分布

2022-03-29 16:35:16

假设我想找到一个截断的正态分布，而不是在一个区间上定义它 $(a,b)$ ，在哪里 $-\infty<a<b<\infty$ , 它的定义是在一个区间上 $(a,b)\cup(c,d)$ ，在哪里 $-\infty<a<b<c<d<\infty$ .

首先，这仍然满足截断正态分布的定义吗？维基百科关于此的文章只是使用它来定义它 $(a,b)$ ，在哪里 $-\infty<a<b<\infty$ 和 $a<X<b$ （并且 X 是正常的，均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^{2}$ ）。如果它不是截断的正态分布，那么它是什么？

如果它是截断的正态分布，我将如何计算它？我在想我可以使用总概率定律来处理它，但是我只会得到截断分布作为联合中每个间隔的截断正态分布的 0.5 倍，这对我来说真的没有意义，因为这意味着 X 不是以最大概率取一个值，而是分布中有两个概率相等的峰值（除非我做错了）。

1个回答

您所描述的不是截断正态分布本身，但是它的概率密度函数和累积分布函数可以很容易地计算出来，就像我们处理截断分布一样，所以你需要将它们除以曲线下的剩余面积。即通过

\int_{a < x \leq b \cup c < x \leq d} f (x) d x = [F (b) - F (a)] + [F (d) - F (c)]

$\int_{ a < x \le b ~\cup ~ c < x \le d} f(x) dx \\ = [F(b)-F(a)] + [F(d)-F(c)]$

在哪里 $f(x)$ 是非截断密度和 $F(x)$ 是非截断的 cdf。这可以推广到任何数量的此类间隔。

这种分布的密度是

g (x) = {\begin{cases} \frac{f (x)}{F (b) - F (a) + F (d) - F (c)} & for a < x \leq b \cup c < x \leq d \\ 0 & otherwise \end{cases}

$g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{F(b)-F(a) + F(d)-F(c)} & \text{for } a < x \le b ~\cup ~ c < x \le d \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

为了说服自己，您可以通过简单的模拟轻松验证此结果（见下文）。

set.seed(123)

m <- 0
s <- 1
a <- -2
b <- -1
c <- 1
d <- 2

x <- rnorm(1e5, m, s)
y <- x[(x > a & x <= b) | (x > c & x <= d)]

g <- function(x, mean = 0, sd = 1, a, b, c, d) {
  ifelse((x > a & x <= b) | (x > c & x <= d),
         dnorm(x, mean = mean, sd = sd) /
           ((pnorm(b, mean = mean, sd = sd) - pnorm(a, mean = mean, sd = sd)) +
              (pnorm(d, mean = mean, sd = sd) - pnorm(c, mean = mean, sd = sd))),
         0)
} 

xx <- seq(-4, 4, by = 0.01)
hist(y, 100, xlim = c(-4, 4), freq = FALSE)
lines(xx, g(xx, m, s, a, b, c, d), col = "red")

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