让

$$X = U\Sigma V^\prime$$ 是的 SVD$n\times r$矩阵$X$. 让$||\quad ||$是在正交变换（反射和旋转）下左右不变的任何矩阵范数；也就是说，每当$P$是一个$n\times n$正交矩阵或$Q$是一个$r\times r$正交矩阵，则

$$||P^\prime X Q|| = ||X||.$$

然后，根据 SVD 的定义，正交性$U$和$V$意味着

$$||U^\prime (X-A) V||^2 = ||\Sigma - U^\prime A V||^2.$$

自从$A$被制定为$U^\prime A V$与第一个一致的对角矩阵$k$对角矩阵的条目$\Sigma$, 右手边就是平方范数$\Sigma$在那些之后$k$对角线条目已被清零。

对于 Frobenius 范数（其平方是其参数的平方项之和），这个归零副本的平方范数$\Sigma$是其剩余条目的平方和，精确地

$$||\Sigma - U^\prime A V||^2 = \sum_{j=k+1}^r \delta_j^2.$$

但是 Frobenius 范数显然在正交矩阵的左乘和右乘下是不变的，因为根据定义，正交性意味着保留欧几里德范数和 Frobenius 范数（当平方时）都是（a）行的平方欧几里德范数之和（因此在左乘法下是不变的，它保留了每一行范数）和（b）列的平方欧几里德范数之和（因此在右乘法下是不变的，它保留了每一列范数）。