机器算法验证 - 具有高斯均值的高斯 - 吾爱随笔录

具有高斯均值的高斯

机器算法验证正态分布

2022-03-18 22:25:54

对不起，如果这个问题措辞不当，但我对此很陌生，我有以下情况：

我知道样本 X 是从高斯分布 G(u, v) 中抽取的。现在如果用另一个高斯随机变量代替 u，这个共轭分布会是什么？它仍然是高斯的吗？

编辑：

只是为了让这一点更清楚，给定以下实验：

从具有已知均值和 var 的正态分布中采样一组点 Xs，
生成多个正态分布 Ds，其中每个 Ds 中的一个 Xs 是均值，并且所有 Ds 共享相同的已知 var，
从每个 D 中采样一组 Y，并将 Y 组合在一起。

我基本上是想知道 Ys 现在的分布是什么，它仍然是高斯分布吗，mean 和 var 是什么？

编辑：

亚伦在他的回答中的演示非常清楚。虽然在我的研究中，我确实倾向于使用相当大的 n 和 m，但根据我自己的实验，结果点的分箱形状仍然非常类似于高斯，这让我再次想知道在给定大 n 的背后是否有理论证据而m，保证是高斯的？

这是我的一个实验的图表（我用不同的均值和方差多次运行它，它们看起来都很相似）：

上图是用 n=1000, m=10000, mean=0.95, std_dev1=0.07, std_dev2=0.7 生成的

1个回答

是的（假设它们是独立的）。将变量的均值从更改为等效于通过线性期望如果是正态分布的，那么两个独立的正态变量相加仍然是正态的。 $0$ $x$ $x$ $x$

更准确地说，让和，然后感兴趣的变量是： $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_1^2)$ $Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma_2^2)$

X + Y \sim N (μ, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})

$X + Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

这仍然是正常的。

如果它们是依赖的，那么我认为我们不能对由此产生的分布做出太多结论。

编辑：为了解决修改后的问题，设是我们在步骤 1 中采样的次数，然后是我们在步骤 3 中从采样的次数。我之前的回复解决了的情况. $n$ $X$ $m$ $x_i + Y$ $m = 1$

对于，个“子样本”中的每一个都依赖于相同的实现。您可以将其视为单独的正态分布，每个正态分布在采样次后移动了正态分布的数量。可能没有更好的描述，但这取决于您要分析的内容以及您要回答的有关结果分布的问题。另请注意，取决于和的相对大小（例如，如果趋于无穷大而保持不变，或者趋于无穷大而保持不变）或 $m > 1$ $m$ $x_i$ $n$ $m$ $n$ $m$ $m$ $n$ $n$ $m$ $\sigma_1^2$ 和，你也许能想出一个合适的近似值。 $\sigma_2^2$

例如，以下直方图根据您的方案，，，和。 $nm$ $n = 2$ $m = 10000$ $\mu = 0$ $\sigma_1^2 = 50$ $\sigma_2^2 = 1$

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