它与矩生成函数有关。具体来说，方差定义为关于均值的二阶矩，三阶矩生成函数称为偏度。所有这些都称为形状参数，因为它们描述了分布的形状。第 4 时刻，Kurtosis （松散地）描述了分布的高度，但这并不是你正在做的。

更新- 感谢@amoeba 指出我的平均公式是错误的，它们应该是预期值而不是总和。

$E [(X)]$- 意思是

$E [(X-\mu)^2]$- 差异

$E [(X-\mu)^3]$- 第三时刻，导致偏斜

$E [(X-\mu)^4]$- 第四时刻，导致峰态

等等...

更新- 同样对于 @amobea 的观点，偏度和峰度需要进行额外的计算。但是，（现在）正确列出了第 3 和第 4 矩生成函数。亨利的回答更简洁，可能会提供更好的洞察力。

所以你可以做你想做的事，但你需要为它起另一个名字，因为标准偏差已经定义了。

需要明确的是，人们开始称第二个时刻为“变异”，这个名字就被卡住了。然后其他人取了它的平方根，并开始称它为标准差，然后这个名字就被卡住了。其他人说，“这是我尝试使用的一个很好的衡量标准”，所以他们写了文章/论文/等。关于标准差。

就您而言，还有其他方法可以描述分布的“传播”。标准差对许多人都熟悉的属性有直接的解释，尤其是在处理正态分布时。在我看来，说一种措施在所有情况下都优于其他所有措施，这是不恰当的。

与世界上其他所有事物一样，使用正确的工具取决于您尝试做的工作，或者在这种情况下，使用正确的方法取决于您要回答的问题。

例如，在我的工作中，人们倾向于使用 MAPE，它根本不描述分布，并且有许多自身的问题，使其不适合他们正在尝试做的事情，但每个人都有这样做已经有一段时间了，所以在可预见的未来，这可能会继续发生。这与人性有关，而不是统计数据，但也适用于您的问题（也许是最佳答案）。

最后一点：如果要求和，则需要将每个 x 乘以 x 的概率

您的 1/N 仅在 x 的每个值均等可能（即分布均匀）时才有效。

平均值在某种意义上是标准差的自然伙伴：如果你想最小化$\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - m)^2}$那么这是实现的$m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$. 例如，如果您有$x_1=1, x_2=6, x_3=2$，那么最小值出现在$m=3$.

当您有其他偏离中心估计的度量时，情况并非如此。表达方式 ${\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N |x_i - m|}$被中位数最小化，在这个例子中，当$m=2$.

发现$m$尽量减少 $\sqrt[4]{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - m)^4}$更难，因为它涉及求解三次方程。在这个例子中，当$m \approx 3.423$.

因此，如果您希望您的中心估计最小化您选择的偏差度量，并且您希望您的中心估计是平均值，那么自然偏差度量将是标准偏差或它的一些单调函数，例如方差。