Lyapunov CLT或Lindeberg CLT将是您所寻求的。

在每种情况下，让$X_i\,=\,w_i\,z_i$并将那里给出的定理应用于$X_i$.

在您建议的很多情况下（并且可能是您关心的所有情况），检查 Lyapunov 的条件就足够了。

然而，除非你有一些奇怪的边缘情况，我认为林德伯格应该适用于你需要的所有情况。