机器算法验证 - 唯一的球形和独立密度是正常的！ - 吾爱随笔录

一个众所周知的结果是，唯一既是球面又是独立误差的密度是正常的：更准确地说

让成为错误， $e_i$

如果联合概率密度满足（独立性）并且如果它是球形的：

f_{n} (e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n}) = f_{1} (e_{1}) f_{1} (e_{2}) . . . f_{1} (e_{n})

$f_n(e_1,e_2, ..., e_n) = f_1(e_1)f_1(e_2)...f_1(e_n)$

f_{n} (e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n}) = g_{n} (Σ_{i = 1}^{n} e_{i}^{2})

$f_n(e_1,e_2, ..., e_n) = g_n(\Sigma_{i=1}^{n} e_i^2)$

那么，满足这两个条件的唯一密度是正常密度：

f_{1} (e_{i}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} e_{i}^{2})

$f_1(e_i)={1 \over \sqrt{2 \pi}\sigma} \, \exp(-{1\over2\sigma^2} e_i^2)$

我怎么证明呢？

我猜取的将是第一步.. $e_i$ $f(e_1,e_2, ..., e_n) = f(e_1)f(e_2)...f(e_n)= f(\Sigma_{i=1}^{n} e_i^2)$

我刚刚发现的类似结果..

“定理 [Herschel-Maxwell]：令 Z∈Rn 是一个随机向量，其中 (i) 到正交子空间的投影是独立的，并且 (ii) Z 的分布仅取决于长度 ||Z||。那么 Z 通常是分散式。

由 George Cobb 在教学统计中引用：一些重要的张力（智利 J. 统计第 2 卷，第 1 期，2011 年 4 月），第 10 页。54."