您可以使用具有概率质量函数的双变量泊松分布

$$f(x,y) = \exp\{-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\} \frac{\lambda_1^x}{x!} \frac{\lambda_2^y}{y!} \sum^{\min(x,y)}_{k=0} {x \choose k} {y \choose k} k!\left(\frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k$$

其中和和，因此您可以将视为两个边缘之间的依赖关系的度量泊松分布。如果您使用 R ，则此分发的 pmf 和随机生成在extraDistr包中实现。$E(X) = \lambda_1+\lambda_3$$E(Y) = \lambda_2+\lambda_3$$\mathrm{cov}(X,Y) = \lambda_3$$\lambda_3$

事实上，Karlis 和 Ntzoufras (2003) 在分析体育数据时描述了这种分布，因此您可以查看他们的论文以获取更多详细信息。这些作者在他们早期的论文中还讨论了单变量泊松模型，他们得出的结论是，独立性假设提供了公平的近似值，因为两个团队的分数之间的差异不取决于双变量泊松的相关参数（Karlis 和 Ntzoufras，2000）。

Kawamura (1984) 描述了通过使用最大似然的直接搜索来估计二元泊松分布的参数。至于回归模型，您可以使用 EM 算法进行最大似然估计，如 Karlis 和 Ntzoufras (2003)，或使用 MCMC 估计的贝叶斯模型。用于二元泊松回归的 EM 算法在bivpois包（Karlis 和 Ntzoufras，2005）中实现，不幸的是，该包目前不在 CRAN 中。

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Karlis, D., & Ntzoufras, I. (2003)。使用双变量泊松模型分析体育数据。 皇家统计学会杂志：D 系列（统计学家），52 (3), 381-393。

Karlis, D. 和 Ntzoufras, I. (2000)关于足球数据建模。 学生，3，229-244。

Kawamura, K. (1984)。直接计算二元泊松分布的最大似然估计量。Kodai 数学杂志，7（2），211-221。

Karlis, D. 和 Ntzoufras, I. (2005)。R.统计软件杂志，14(10)，1-36 中的双变量泊松和对角膨胀双变量泊松回归模型。

双变量泊松不适应和之间的负相关。可以通过将泊松分位数函数应用于高斯 copula 的每个分量来构建一个模型。由此产生的二元概率质量函数很容易在 R 中使用以下代码计算，其中向量包含两个边际泊松分布的参数，并且是标准双正态分布的相关性。$x_1$$x_2$lambdarho

library(mvtnorm)
dbipoisgausscopula <- function(x, lambda, rho) {
   pmvnorm(lower=qnorm(ppois(x-1,lambda)),
      upper=qnorm(ppois(x,lambda)),
      mean=c(0,0),
      sigma=matrix(c(1,rho,rho,1),2,2)
   )
}