我理解离散情况，即总和$N$同分布随机变量$X_i$有方差$\sigma^2$. 这些随机变量之间的相关性由相关矩阵给出$\mathbf{\rho}(X_i,X_j)$.

随机变量线性组合的方差$X_i$是（谁）给的：

$$\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^N X_i\right) = N\sigma^2+2\sigma^2\sum_{1\le i<j\le N}\mathbf{\rho}(X_i,X_j)$$

资料来源：维基百科 - 方差 - 相关变量的总和

我想考虑一个随机过程的连续情况，表示为$X(t)$. 该过程是平稳的，具有恒定的方差$\sigma^2$和相关函数$\rho(X(t),X(h)$. 与上面类似，我想计算随机变量的线性组合的方差$X(t)$. 我认为某些域上的线性组合$t \in [0,L]$可以表示为

$$I = \int_0^L X(t) dt$$

我想知道方差$I$：

$$\operatorname{Var}(I)=?$$

我推测如果过程$Z(X_i)$是完全相关的，即$\rho(X(t),X(h)) = 1$那么方差$I$被最小化最大化并且由下式给出：

$$\operatorname{Var}(I)=L^2\sigma^2$$

如果变量不相关，即$\rho(X(t),X(h))=0$然后我怀疑方差$I$被最大化最小化。它可能是无限的零？

我发现连续情况（即在某个域 [0,L] 上的无限随机变量）难以理解。谁能给我一个表达式来表示$I$?