机器算法验证 - 指数自变量的 Lindeberg CLT - 吾爱随笔录

指数自变量的 Lindeberg CLT

机器算法验证分布中心极限定理

2022-03-25 01:11:16

交叉发布在 math.stackexchange 中：CLT 用于独立但非相同分布的指数变量

这个问题是我的资格考试自学。

问题

假设的独立指数分布的随机变量。如果 $(e_n)_{n\ge 1}$ $E(e_n)=\mu_n$

max_{i \leq n} \frac{μ_{i}}{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}} \to 0

$\max_{i\le n}\frac{\mu_i}{\sum^n_{j=1}\mu_j}\to 0$

那么

\sum_{i = 1}^{n} (e_{i} - μ_{i}) / \sqrt{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}^{2}} ⟹ N (0, 1) .

$\sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\implies N(0,1).$

我尝试了使用 Liapunov 条件的解决方案，但不知何故卡在了我论证的最后一步。

在上面的链接中，另一个用户尝试使用 Lindeberg 条件进行回答，但不知何故，问题中给出的条件不符合解决方案的假设。

有人对如何进行有任何提示吗？

谢谢！

1个回答

当（满足书中的假设）时，似乎序列收敛到一个常数加上 Gumbel 分布（参见JSH van Leeuwaarden 和 NM Temme的指数加权和的均匀渐近展开中的5.3 小节。 $\mu_j=1/j$ $\left(\sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\right)_{n\geqslant 1}$

因此，条件似乎是好的。它可以通过问题链接中描述的方法得出，也可以在这里以更一般的方式得出（特别是，我们似乎不需要假设随机变量具有指数分布，而只是有限方差）。在这两种情况下，都使用了林德伯格的中心极限定理。

\begin{matrix} (C) & lim_{n \to \infty} max_{1 ⩽ i ⩽ n} \frac{μ_{i}^{2}}{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}^{2}} = 0 \end{matrix}

$\tag{C} \lim_{n\to \infty}\max_{1\leqslant i\leqslant n}\frac{\mu_i^ 2}{\sum_{j=1}^n \mu_j^2 } =0$

一般来说，如果我们要证明的中心极限定理，其中独立且居中，且，我们可以使用 Lindeberg 条件，即这意味着。在我们的例子中，这相当于条件 (C)。 $s_n^{-1}\sum_{j=1}^nX_{n,j}$ $(X_{n,j})_{j=1}^n$ $s_n^2=\sum_{j=1}^n\operatorname{Var}(X_{n,j})$

\forall ε > 0, lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{j = 1}^{n} E [X_{n, j}^{2} 1 {| X_{n, j} | > ε s_{n}}] = 0.

$\forall \varepsilon\gt 0, \quad \lim_{n\to \infty} \frac 1{s_n^2}\sum_{j=1}^n\mathbb E\left[X_{n,j}^2\mathbf 1\{|X_{n,j}|\gt \varepsilon s_n \} \right] =0.$

s_{n}^{- 1} max_{1 ⩽ j ⩽ n} Var (X_{n, j}) \to 0

$s_n^{-1}\max_{1\leqslant j\leqslant n}\operatorname{Var}(X_{n,j})\to 0$

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