经验 cdf，是样本在 t 或低于的比例。$\hat{F}(t)$$t$

考虑通过增加的固定值下，通过增加进行排序）。$y$$y$$x$

然后对于每个这样的行（例如第行），每个 cdf 的高度为 *，x 样本的相应横坐标始终位于 y 样本横坐标的右侧。阶跃函数可以重合，但 x 样本 ecdf 永远不会位于 y 样本 ecdf 的上方/左侧。$i$$i/n$

确实，想象一下我们在 ecdf 中“绘制”所有垂直跳跃。的某个值处在绘图上绘制的水平线和的特定值处撞击 ecdf 步骤，该值出现在我们的表中，按顺序列出样本值（实际上，对于给定的值，很容易算出哪一行是），它总是有。$F$$y$$x$$F$$^\dagger$$y_i\leq x_i$

*（当存在重复值时会稍微复杂一些，但不会实质性地改变参数）

$\dagger$对于图中的灰色水平线（和发生了 ecdf 的垂直跳跃，这些跳跃发生在数据表的第 73 行，如前所述排序时。$F\approx 0.481$$t_y=194.4503$$t_x=200.0431$

Glen_b 的回答是正确的，但我认为有一种更简单的方法来证明这一点。

eCDF 是（的值的比例）的图。我们首先按升序对值进行排序：称它们为和。此外，根据您的问题，我们知道这两个向量的长度相同，并且对于每个索引。$x$$x$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$y_1, y_2, \ldots, y_n$$y_i \ge x_i$$i$

由于大于或等于，必须位于的右侧或右侧，并且由于它们是列表中的最小点，它们的高度/y 坐标均为$y_1$$x_1$$y_1$$x_1$$\frac{1}{n}$。两条曲线以相同的速率向上移动（$\frac{1}{n}$每一步）和右侧。然而，由于$y_i > x_i$， 这$Y$曲线至少向右移动尽可能远$X$每一步的曲线。

由于$Y$曲线开始于或向右$X$曲线和每个后续更新推送$Y$至少在最右边$X$，曲线永远不会交叉。

只需将上面写的内容形式化：

如果经验 CDF 写成$F_X$和$F_Y$分别，那么

$F_X(x) = \frac{1}{n} \sum_{x_i} I(x_i \leq x)$同样 $F_Y(x) = \frac{1}{n} \sum_{y_i} I(y_i \leq x)$.

现在，对于任何$x$，我们可以证明$I(x_i \leq x) \leq I(y_i \leq x)$. 通过矛盾证明这一点 - 假设有一个$x$这不成立并表明必须有一对$(x_i, y_i)$为此$y_i > x_i$.

因此，$F_X(x) \leq F_Y(x)$对所有人$x$.

注意：此演示中有一些隐含的假设，即数据点的数量是有限的。我想可能有相同大小（即基数）的无限数据集。我相当肯定结果成立，但对这种结果的证明却不太确定。