我认为首先要记住的是给定一个矩阵$A$是$A = U \Sigma V^T$（奇异值分解）分解同理$A = S \Lambda S^{-1}$（特征值分解）如果$A$是一个正（半）定对称矩阵，即。$A = Q \Lambda Q^T$. 话虽如此，回到你的第一个问题：是的，奇异值在数值上与特征值相同是合理的。一般来说，如下所示并由@amoeba 指出，奇异值是非零特征值的平方根$A^TA$.

来到你的第二个问题：假设$A_{m \times n} = U \Sigma V^T$，你要找的特征向量在$V$然而$U$和$V$是酉矩阵：$V^T V = I_n$和$U^T U = I_m$. 我想这点也回答了你的第三个问题。为了更清楚地说明这一点：$A = U \Sigma V^T \rightarrow A^T A = V \Sigma^T U^T U\Sigma V^T \rightarrow V \Sigma^2 V^T$因为$\Sigma^T = \Sigma$和$U^T U = I$. 所以$\Sigma^2$=$\Lambda$. （小心你很可能需要使用归一化因子$\frac{1}{n-1}$实现这种平等。）

关于你的最后一点：我通常在$m > n$域，因此协方差函数的特征分解更有效；这样就可以立即进行居中。话虽如此：是的，你的直觉是正确的；不，如果您想使用$SVD$要计算主成分，您无需先将数据居中。以下主题对此主题进行了很好的讨论：何时应将数据居中以及何时应标准化？

我的第一个参考资料$SVD$及其与特征分解的联系是 G.Strang 的线性代数导论，第 1 章。6 节。7 和 IT Jolliffe 的主成分分析，章节。3 节。5. 两者通常作为旧图书馆副本很容易获得，如果您希望稍后访问更高级的文本，应该作为一个很好的介绍。

您的问题的答案如下：

1. 不，这是不正确的：数据矩阵的奇异值（您的$s$) 等于协方差矩阵的特征值的平方根，直到一个比例因子$\sqrt{N-1}$在哪里$N$是数据点的数量。

2. 协方差（NB：协方差！不是相关）矩阵的特征向量由$U$.

3. 几乎正确：列$V$是主要成分，即主轴上的投影，但按单位范数缩放！主成分本身由以下列给出$V$，每个乘以各自的奇异值。

下面链接的两个函数使用np.linalg.eig或计算 PCA np.linalg.svd。它应该可以帮助您在两者之间进行转换。该模块中有一个更大的 PCA 类，您可能会感兴趣。如果您最终使用它，我想听听有关 PCA 类的一些反馈。在我们将其合并之前，我仍在添加功能。

你可以在这里看到 PR 。由于某种原因，它不会让我发布深层链接，因此请查找def _pca_svdand def _pca_eig。