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贝叶斯计量经济学中关于Gamma分布参数的一个问题

机器算法验证贝叶斯计量经济学事先的伽马分布

2022-04-09 05:27:53

关于 Gamma 分布的 Wikipedia 文章列出了两种不同的参数化方法，其中一种在贝叶斯计量经济学中经常使用 $\alpha>0$ 和 $\beta>0$ , $\alpha$ 是形状参数， $\beta$ 是速率参数。

X \sim G a m m a (α, β) .

$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$

在 Gary Koop 编写的贝叶斯计量经济学教科书中，精度参数 $\frac{1}{\sigma^2}=h$ 遵循 Gamma 分布，这是一个先验分布

h \sim G a m m a ({\underline{s}}^{- 2}, \underline{ν}),

$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$

在哪里 $\underline{s}^{-2}$ 是平均数 $\underline{\nu}$ 是根据他的附录的自由度。还 $s^2$ 是有定义的标准误差

s^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \hat{β} x_{i})}{ν} .

$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$

因此对我来说，这两个 Gamma 分布的定义是完全不同的，因为均值和方差会不同。如果我们遵循维基百科的定义，平均值将是 $\alpha/\beta$ ，不是 $\underline{s}^{-2}$ .

我在这里很困惑，有人能帮我理清思路吗？

3个回答

对于仍在为 Koops 糟糕的表示法而苦苦挣扎的人：问题在于 Koop既不使用尺度参数化也不使用速率参数化，而是使用“平均自由度”参数化（参见附录，Def. B. 22）。的分布 $h$ 因此，在适当的参数化（形状，速率）中

h \sim Gamma (s h a p e = \underline{ν} / 2, r a t e = {\underline{ν s}}^{2} / 2)

$h \sim \text{Gamma}(shape = \underline{\nu}/2 , rate = \underline{\nu s}^2 / 2)$ 对参数使用 Koops 表示法。

我认为维基百科的文章是指一种特定形式的伽马分布，称为 $\chi^2$ . 卡方是 $\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ 和 $s^2$ 将是常数 $\chi^2$ 随机变量乘以得到具有方差估计分布的随机变量。那是 $\alpha=\nu$ 和 $\beta=1/2$ . s 是标准误差，而不是 $s^2$ . 在你提到的文章中 $\chi^2$ 列在特殊情况下（第二个项目符号）。

习惯上（作为先验）将伽马分布强加到 $h=\frac{1}{\sigma^2}$ 或逆伽马分布 $\sigma^2$ . 然后，posteior 将有一个美丽的外观。我相信您可以将伽马分布分配给 $\sigma^2$ ，并且仍然通过积分得出边际的所有计算 $\sigma^2$ 会通过。

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