具有非整数周期的傅立叶数据，校正相位偏差

机器算法验证 曲线拟合
2022-03-13 05:38:15

我有我认为是正弦曲线的数据，但我没有整数个周期。我如何找到“最合适”的Sin/Cos功能，对此和出现的丑陋常数进行补偿？例子：

  • 这是一些遵循正弦模式的数据（Mathematica 格式）

    t4 = N[Table[Sin[3.17*2*Pi*x/200], {x,1,200}]];

  • 现在，使用 just t4，我想返回Sin[3.17*2*Pi*x/200]或等效。

  • 请注意，它Mean[t4]是非零的（大约是0.0281886）。到目前为止我尝试过的分析“拉出”这个意思（如“ 0.0281886 + ...”）。这很糟糕，因为我不太可能在那个常数被拉出的情况下恢复到我原来的形式。

  • 使用来自https://stackoverflow.com/questions/4463481/continuous-fourier-transform-on-discrete-data-using-mathematica的 j0ker5 的出色技术，我可以补偿非积分期并获得：

    0.0281886 + 0.983639 Cos[1.49867 - 0.0992743 x]

请注意，该x术语3.16*2*Pi*x/200非常接近我的原始术语。

  • 我稍微修改了 j0ker5 的技术。我用来获得上述内容的实际功能：

superfourier2[data_] :=Module[ 
 {pdata, n, f, pos, fr, frpos, freq, phase, coeff}, 
 pdata = data; 
 n = Length[data]; 
 f = Abs[Fourier[pdata]]; 
 pos = Ordering[-f, 1][[1]] - 1; 
 fr = Abs[Fourier[pdata*Exp[2*PiIposRange[0,n-1]/n], 
      FourierParameters -> {0, 2/n}]]; 
 frpos = Ordering[-fr, 1][[1]]; 
 freq = (pos + 2(frpos - 1)/n); 
 phase = Sum[Exp[freq*2*PiIx/n]*pdata[[x]], {x,1,n}]; 
 coeff =  N[{Mean[data], 2*Abs[phase]/n, freq*2*Pi/n, Arg[phase]}]; 
 Function[x, Evaluate[coeff[[1]] + coeff[[2]]*Cos[coeff[[3]]*x - coeff[[4]]]]] 
]

  • 除了糟糕的常数项之外，请注意在yield中添加“ 0.983639*Cos[1.49867 - 0.0992743 x]” ，我相信这会使事情变得更糟，而不是更好。x=1..2000.0279175*200

  • 我相信0.0279175*200余弦和 200*0.0281886平均值的总和可以以某种方式“取消”以返回我的纯Sin[]函数。

想法？

1个回答

周期图将估计周期。它还将处理噪声数据并挑选出不同时期的多个正弦分量。

快速而肮脏的Mathematica计算是

data = N[Table[Sin[3.17*2*Pi*x/200], {x, 1, n}]];
welch = 1 - (2 (Range[n] - (n - 1)/2)/(n + 1))^2;
fData = Append[Abs[Fourier[welch data]]^2 / (Plus @@ (welch^2)), 0];
fData = (fData + Reverse[fData])/2;
fData = fData / (Plus @@ fData);

（您实际上并不需要最后两个步骤，但我保留了它们，因为它们制作了下面的插图。）

这是此示例中周期图的重要部分的图：

周期图

这些点是周期图的值，而线是快速平滑的（我使用了 5 阶多项式插值器，但更多时间将应用高斯核平滑）：

f = Interpolation[Log[fData], InterpolationOrder -> 5];
period = x /. (NMaximize[f[x + 1], x] // Last)

平滑值的最大值出现在，其接近证明了这种技术的前景。3.176613.17

一旦您估计了周期，就可以直接找到相位和幅度（使用非线性最小二乘，或者在傅里叶变换上运行一个紧带通滤波器并将其反转）。

NonlinearModelFit[data, a Sin[\[Phi] + period*2*Pi*x/200], {a, \[Phi]}, x]

估计的幅度 ( ) 为，相位 ( ) 为，两者分别接近和的实际值。（相位估计小于正确相位的一个采样间隔（），这与预期的一样好。）将数据与此拟合进行比较：a1.00011ϕ0.0212758102π/200=0.0314

数据与拟合

残差表现出一些准周期性（可归因于在非整数周期截断数据），范围从到。−0.0180.021

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