我敢肯定，Durrett 的证明很好。提出的问题的直接解决方案如下。

对于$n \geq 1$

$$\begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array}$$

对于，我们有。$n = 0$$P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$

这并不能证明是一个更难的泊松过程，但它确实表明的边际分布是具有均值的泊松分布。$(N_t)_{t \geq 0}$$N_t$$\lambda t$