假设我们有一个状态不可约非周期马尔可夫链，状态 ,，具有双随机转移矩阵（即对于所有）。那么限制分布是。$M+1$$m_j$$j=0,1,\ldots, M$$\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$j$$\pi_j=\frac{1}{M+1}$

证明

首先注意是\ pi_j和的唯一解。$\pi_j$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$$\sum_{i=0}^M\pi_i=1$

尝试。这给出了（因为矩阵是双重随机的）。因此使其成为第二归一化的解。$\pi_i=1$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$\pi_i=1$$M+1$

凭借独特性，$\pi_j=\frac{1}{M+1}$.