问题 8.7 来自范德法特的渐近统计：

上的均匀分布的样本，观测值的最大值向下偏移。因为，可以通过添加观察值的最小值来消除偏差。从渐近的角度来看，是估计量吗？$n$$[0,\theta]$$X_{(n)}$$\text{E}[\theta-X_{(n)}] = \text{E}[X_{(1)}]$$X_{(1)} + X_{(n)}$$\theta$

我的尝试：

这一章是关于估计器的效率（例如卷积定理，相对效率），所以我的第一个想法是计算的渐近方差。从我之前在课堂上的结果来看，我有即最小值和最大值的渐近边际分布是指数的分布。但是，要获得总和的渐近分布，我需要联合渐近分布。我不确定如何进行。 $X_{(1)} + X_{(n)}$

$$\text{Pr}\left\{ nX_{(1)} < x\right\} \to 1 - e^{-x/\theta}\qquad \text{Pr}\left\{ -n(X_{(n)}-\theta) < x\right\} \to 1-e^{-x/\theta}$$

尝试 2

基于链接的问题，如果和是渐近独立的，那么的渐近方差将只是大于 MLE ( ) 的方差。但是 MLE 是有偏见的。另外，我还没有找到一种方法来证明最小值和最大值是渐近独立的。$X_{(1)}$$X_{(n)}$$X_{(1)} + X_{(n)}$

$$\theta^2+\theta^2 + 2(0) = 2\theta^2$$ $X_{(n)}$

相关：没有令人满意的答案均匀顺序统计的渐近分布

也有点与著名的德国坦克问题有关，但那是离散均匀分布。