机器算法验证 - 指数随机变量的指数分布 - 吾爱随笔录 - 问答

指数随机变量的指数分布

机器算法验证可能性随机变量指数分布

2022-04-02 12:00:10

让 $X$ 是具有指数分布的实值随机变量。让 $a$ 是一个复数。什么是分布 $Y = e^{aX}$ ? Y 可以写成另一个已知分布的形式吗？

注意：根据 Deep North（下）的答案，我注意到解决上述问题等同于解决这个问题：

$Y = e^{aX} = e^{(a_r + i a_i) X} = e^{a_rX} \cos(a_i X) + i e^{a_rX} \sin(a_i X)$ . 因此，如果不可能将其写为复平面中的单个答案，则答案也可能是一对分布。

1个回答

\begin{aligned} F (y) & = P (Y < y) \\ = P (e^{a X} < y) \\ = P (a X < \ln y) \\ = P (X < \frac{\ln y}{a}) \\ = \int_{0}^{\frac{\ln y}{a}} λ e^{- λ y} d y \\ = {- e^{- λ y} |}_{0}^{\frac{\ln y}{a}} \\ = 1 - y^{- λ / a} \end{aligned}

$\begin{align} F(y) &= P(Y<y) \\ &= P(e^{aX}<y) \\ &= P(aX<\ln y) \\ &= P(X<\frac{\ln y}{a}) \\ &=\int_0^{\frac{\ln y}{a}}\lambda e^{-\lambda y}dy \\ &= \left.-e^{-\lambda y}\right\vert_{0}^{\frac{\ln y}{a}}\\ &=1-y^{-\lambda/a} \end{align}$

我们取两边的导数：

f (y) = \frac{λ}{a} y^{- λ / a - 1}

$f(y)=\frac{\lambda}{a}y^{-\lambda/a -1}$

Beta 分布，当 $0<y<1$ 和 $\beta=1$ ?

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