机器算法验证 - 如何找到具有给定分布的随机变量？ - 吾爱随笔录 - 问答

如何找到具有给定分布的随机变量？

机器算法验证可能性分布自习随机变量

2022-03-30 16:14:47

令为概率测度的分布函数。这是， $F:\mathbb R \to [0,1]$ $P$

F (x) = P ((- \infty, x])

$F(x)=P((-\infty,x])$

然后证明有一个随机变量， $X$

X : ((0, 1], B, λ) \to R

$X : ((0,1],\mathcal B,\lambda)\to \mathbb R$

（其中是 borel -代数，是 Lebesgue 测度），使得 $\mathcal B$ $\sigma$ $\lambda$ $P_{X}=P.$

1个回答

这个问题有一个很好的视觉解决方案，因为给出的“百分比点函数”或“逆 CDF” 。 $X$ $F^{-1}.$

让我们从通用分布函数的图开始： $F$

该图说明的一般问题是的大部分，对应于图中的跳跃，并且 (b) 存在一个值区间与相同的概率相关联，对应于与垂直轴相交的平坦区域。 $F$ $[0,1]$

我们可以通过填充图形和值轴之间的区域来修复 (a)：

该区域的边界定义了一个从概率到支持的可逆函数。像往常一样，翻转轴以绘制反比关系（我通过旋转图并从后面显示它来完成）： $[0,1]$ $F.$

水平轴描绘了“概率空间”，而垂直轴现在描绘了实数或“值空间”。由于问题 (b)，阴影区域的边界并不完全是函数图：它在中间有一个垂直段。该段跨越一组没有概率的值。 除了它的端点，它不对应于支持的任何东西。因此我们可以选择跨度中的一个点，例如最高点。 $[0,1]$ $F.$

结果图绘制了正在寻找 $X$ 您需要验证它是可测量的（从的定义得出），但最重要的计算是确定的概率定律确实是：即对于任何 $F$ $X$ $F$ $x\in\mathbb{R},$

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X\le x) = F(x).$

但这是直接的，因为事件的所有值组成，其概率等于区间（即的勒贝格测度），显然是 $X\le x$ $p\in[0,1]$ $p \le F(x),$ $[0,F(x)]$ $X^{-1}((-\infty, x])$ $F(x).$

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