我打算在标准化圆上模拟具有连续均匀分布的 iid 一维变量（周长是$1$代替$2\pi$）。即，样本由$n$在圆上同时点（因此可以称其为随机向量），其中每个点都有一个“角度”$X_i \in (0,1)$为了$i = 1\sim n$.

该项目涉及生成$N > 10^9$以下每个值的样本$n$: 5,6,7,8,9,10,11 和 100,101,102,103,104,105。范围可能会根据结果而扩大。

我感兴趣的基本量是点之间的成对距离（沿圆弧的内在距离）。

由于各种原因，Matlab是我目前选择的平台，其中默认的 PRNG 是 Mersenne Twister。我遇到了一些观点，即 Mersenne Twister 尽管被广泛使用，但对统计目的不利，除非非常仔细地调整（而且大多数人都做错了）。这在附录中进一步阐述。

主要问题：

是否有一些专门为循环数据设计的 PRNG 不错的选择？我对“环绕”惯常感到不确定$\mathrm{Unif}(0,1)$. 在我看来，0 附近的最小数字和 1 附近的最大数字之间的差距可能是“典型大小”的两倍。

理论上更准确地说：uniform的相邻顺序统计之间的差距$G_i \equiv U_{(i+1)} - U_{(i)}$具有与 min 相同的 Beta 分布$G_i \overset{d}{=} U_{(1)}$. 同时，“环绕式”差距$G_0 \equiv 1 + U_{(1)} - U_{(n)}$同分布为$G_0 \overset{d}{=} U_{(2)}$.

至于实现方面，我非常乐意为来自不同家族的 PRNG 组合编写代码。时间成本确实是一个问题，但不是很重要。如果有好处，我可以从 using 切换Matlab到R.

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我早在 2010 年就读过David Jones的文章和Agner Fog 的 2015 年论文，这两篇文章都提供了丰富的信息，但同时大部分内容都超出了我的掌握。

特别是，我不确定讨论的哪些部分或如何适用于循环数据（或不适用）。

次要问题：

如果 PRNG 是好的，我可以生成$N$大样本$n_0$， 说，$n_0 = 105$，然后重新采样（通过排列“打算”用于$n_0$) 以获取较小的数据$n = 5,6,7,$ETC？或者这实际上不是更快或在数学上不合理？

（这似乎已在评论中回答）

$$\color{white}. \\ \color{white}. \\ \color{white}.$$

附录：Mersenne Twister 在统计中可能存在的问题

首先是 George Marsaglia 的话（是的，必须在一篇关于 PRNG 的帖子中引用他！）

“（Mersenne Twister）......本质上是一个使用异或（xor）操作的滞后斐波那契RNG，经验表明，使用异或的滞后斐波那契生成器提供了不令人满意的'随机性'......即使有很长的滞后，许多人们（其中包括我）倾向于对基于 xor 等简单操作的序列持谨慎态度......”

以上是我 1999 年在 Sci.Stat.Math 上的 Marsaglia 帖子的摘录，该帖子保存在web.archive.org中（如果需要，请重新加载几次）。

在我上面提到的2015 年论文中，在评论 2013 年（当时）新版本的 MT 时（对于图形处理器来说同样如此），Agner Fog 说：

“这个生成器有已知的弱点，这在 Mersenne Twister 家族中很常见：它容易受到基于代数的测试的影响$\mathbb{F}_{_2}$; 扩散性较差；并且它的子序列中的 0 多于 1。”

这些问题在 StackOverflow 上的一些帖子和其中的评论中得到了回应，比如 2015 年的这里或2017 年的这个。

重点不在于密码学的安全性，而在于：

“（截至 2007 年的梅森扭曲器）......它没有通过两个 Crunch 测试，线性复杂度测试，像 MT 这样的纯移位寄存器类型的生成器注定会失败。”

这来自我上面提到的 David Jones的 2010 年文章。然而，让我不确定的是琼斯在同一句话中说：

“（未通过线性复杂性测试）......不太可能成为模拟中的问题。很难想象任何真正的生物信息学应用程序都会因这个生成器而失败。”