想象一家企业希望审计其交易。 它有一个汇总交易的数据库，构成人口的抽样框架。详细检查每笔交易既费时又费钱，因此在这种情况下，谨慎的标准是对总体进行抽样。

使用在该数据库中找到的特征（例如交易的金额或类型），审计师已 (a) 将总体划分为不重叠的层和 (b) 随机抽样而不从每个层中替换。

假设审计的目的是估计$M,$检查时具有某种特征的总体交易总数；例如，它们可能不符合某些业务规则。一个希望$M$是小！因此，我们的数据包含每个层的三个计数：层的大小$N_i,$样本量$n_i,$和观察到的不合格交易的数量$x_i.$

有一些明显的方法可以估计每个层中不合格交易的总数$i$; 例如，我们可以乘以观察到的比例$x_i/n_i$按层大小$N_i$：

这些的总和是一个可能的估计量$M.$

有一个准确、可辩护的置信限（上限或下限）对于$M.$ 通常——至少根据我研究过的教科书——简单地估计$M$通过汇总的估计方差$\hat M_i$（使用适当的权重）并应用正态近似。当有

• 小样本$n_i$,
• 小观察计数$x_i$（尤其是当$x_i=0$） 或者
• 与层大小相比，样本很大（粗略地，当$n_i$超过约 10%$N_i$）。

当所有三个有问题的条件都适用于一个或多个层时，我们如何构建具有良好覆盖率的置信限？