认为$M$是一个$N \times k$高斯矩阵，即它的条目是独立同分布的标准正态随机变量，具有$N>>k$. 拿$D=\text{diag}(\lambda_1, \dotsc ,\lambda_N)$对于一些固定的实标量。我有兴趣找到$N \times k$“酉”矩阵$Q$从 QR 分解$DM$（并且可能$D^2M$， ETC。）。

众所周知，如果$k=N$和$D=I_N$，单位矩阵，然后$Q$是关于有序正交矩阵的李群上的 Haar 测度分布的$N$. 您能否提供有关一般情况的任何见解$k<N$和/或一般$D$?

我还试图寻找最简单的情况，即$k=1$. 然后 QR 分解与简单的归一化相吻合。我发现这个结果是常见的方差，即案例$\lambda_1=\dotsc =\lambda_N$. 这可以很容易地概括为具有不同的一般情况吗$\lambda_i$?

我尝试在最简单的情况下缩放矩阵$M$（这是为了$k=1$只是一个$N$维随机向量）。确实，那么上述结果是适用的，得到