假设你有一个普通的六面骰子。你对滚动两次后得到的两个数字的平均值感兴趣。

情景 1：您掷骰子两次，得到 {5} 和 {3}。他们的总数是 8 ，他们的平均值是4，而我们知道期望值是3.5。我们再次滚动，我们得到 {2} 和 {5}，它们的平均值是3.5。我们非常接近真实的预期值。

场景 2：你掷骰子一次，然后掷骰子直到你得到一个与你的第一次掷骰子最多的数字。我掷出 {6}，因此我只能得到 {5} 或 {6}。他们的平均值将是5.5或6。在我再次掷出其中一个后，我得到了 {3}。第二卷是 {2}，它们的平均值是2.5。$\pm$

在场景一中，骰子的两次滚动是独立且不相关的，因此它们可以自由地探索样本空间。在场景 2中，这两个值高度相关，并且第二次滚动的样本空间受到限制，因此更容易更频繁地获得更极端的样本均值（如1.5或5.5 ）。

我们还注意到，对于场景 1，您可以通过多种方式获得对应于真实均值的相同样本均值：{1} 和 {6}、{5} 和 {2}、{4} 和 {3}。而在场景 2中，只有 {3} 和 {4} 会为您提供真实的总体均值，因此，在后一种情况下，样本均值的可变性更大。

编辑负协方差：

现在考虑一个场景 3，它与场景 2类似，因为第二次滚动也受到限制，但在这种情况下，第二次滚动的规则有点棘手：如果我们的第一次滚动低于3.5（预期值） , 我们只接受距离第一个值至少 3 的滚动，如果它高于3.5 ，我们将只接受距离第一个值至少我们滚动一次，我们得到一个 {4}，我们可以接受的唯一值将是一个 {1}，给我们一个样本平均值2.5。我们再次滚动，我们得到一个 {2}，我们只剩下 {5} 和 {6} 作为第二次滚动的可能值。样本均值为3.5$+$$-$或4。

我们可以看到，场景 2和场景 3的样本空间都受到了限制，但是虽然第一个限制了空间，因此它更有可能获得极端样本均值（如 {1} 和 {2}），但后者限制了空间因此更不可能得到极端样本均值——不可能再得到 {1} 和 {2}，也不可能得到 {1} 和 {3}。因此，可能的样本均值变化较小，更接近真实预期值。这是高负协方差的影响，因此符号与解释原始陈述相关。

补充另一个答案的一个极端例子：制作$N$一份样品的准确副本给了我$N$完全相关的样本。显然，这不会减少使用样本做出的任何估计的方差。

我们可以用您的公式制作两份来证明这一点

$$\text{Var}(\bar x) = \text{Var}\left(\frac{x+x}{2}\right) = \frac14 \left[\text{Var}(x) + \text{Var}(x) + 2\,\text{Cov}(x,x)\right] = \text{Var}(x)$$ 结果可以通过制作看到$(x+x)/2 = x$或者通过认识到$\text{Cov}(x,x) = \text{Var}(x)$.

下图可能会提供直观的视图

该图像还表明，高相关性并不总是意味着更高的方差，或者至少是模棱两可的（即左侧图像具有高负相关性，结果是总和的方差低$x+y$）。

因为“高度相关”通常意味着 Cov(X,Y) 为 +ve 而“不相关”意味着 Cov(X,Y) 为零，因此使用您的表达式将“高度相关”与“不相关”进行比较，您将得到 Var(𝑋+ 𝑌) 在“高度相关”的情况下最高（Var(X) 和 Var(Y) 始终为正。