好问题。我将使用 t-SNE 来回答它，因为我认为它为更多人所熟悉。我认为 UMAP 非常有前途并且是一个巨大的贡献，但老实说，我对所有的营销和围绕它的炒作感到有点恼火。人们认为 t-SNE 不能嵌入新点，但 UMAP 奇迹般地可以。实际上，t-SNE 可以做到和 UMAP 一样好；这只是方便实施的问题。

一个吸引眼球的图：

它们是非参数的，即没有简单直接的方法来嵌入新数据

这并不完全正确。确实，t-SNE 是非参数的。这实际上意味着 t-SNE没有构造函数$f(x):\mathbb R^p\to \mathbb R^2$这将映射高维点$x$降到二维。相反，它将所有点定位在一个平面上并让它们“相互作用”：相似的点相互吸引，不同的点相互排斥，一段时间后相似的点聚集在一起。在实际实现中，每个点只感受到最近的吸引力$k$一些小的价值的邻居$k$.

现在想象你得到一个新的观点$x_\mathrm{test}$. 没有功能$f()$这会给你它的二维位置$f(x_\mathrm{test})$. 但是，您可以将它放在现有的 t-SNE 嵌入中的某个位置，并让它与所有现有点“交互”：它将被与其最相似的点（它最近的邻居）吸引，并与所有其他点排斥。仅允许移动该点，而所有现有点保持原位。如果一切顺利，$x_\mathrm{test}$会到达离它最近的邻居很近的地方。

实际这样做时，最初将其定位在靠近其最近邻居的某个位置（例如，它的平均位置）是非常有帮助的。$k$最近的邻居），因为这将使收敛更快，更可靠。实际上，只需将其定位在其平均位置$k$最近的邻居已经可以很好地工作，根本不需要进一步优化。

[顺便说一句：如果一个人有一大堆测试点，那么可以一个一个独立处理，或者尝试将它们全部嵌入在一起，让它们相互交互。如果所有测试点彼此相似但与原始点不同，这可能会产生非常不同的结果。在前一种情况下，测试点将被“强制”到现有的嵌入中。在后一种情况下，它们将作为一个单独的集群聚集在一起。]

我知道有几篇生物学论文使用了这种方法的一些变体。Berman 2014和Macosko 2015就是两个这样的例子。这是 t-SNE https://github.com/pavlin-policar/openTSNE的一个非常好的和非常快的最近 Python 实现，它允许嵌入新点开箱即用。引用文档https://opentsne.readthedocs.io/en/latest/，

[t-SNE 多年来受到了一些批评，其中之一是] t-SNE 是非参数的，因此不可能将新样本添加到现有嵌入中。这个论点经常被重复，很可能是因为大多数软件包根本没有花时间来实现这个功能。t-SNE 是非参数的，意味着它不学习函数$f$将样本从环境空间投影到嵌入空间。然而，t-SNE 的目标函数定义良好，并且可以通过获取数据点并优化其相对于现有嵌入的位置，轻松地将新样本添加到现有嵌入中。这是我们所知道的唯一可用的实现，它允许向现有嵌入添加新点。

上图来自https://github.com/berenslab/rna-seq-tsne/，这是本文的配套存储库：https ://www.nature.com/articles/s41467-019-13056-x 。

关于 UMAP，正如您所说，测试集嵌入背后的数学没有在任何地方明确描述，但我很确定它就是这样做的。简要查看源代码似乎可以确认这一点。