正如评论中所解释的，要知道一个 pdf 到一个归一化常数意味着对于具有 pdf，我们知道 其中是未知的。的标准正态分布 。$X$$f(x)$

$$f(x) \propto g(x) \Rightarrow f(x) = c g(x),$$ $c = \int g(x) dx$ $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}\,.$$

现在假设我们处于这样一种情况，我们只能确定 因此和归一化常数是未知的。如果我们将其可视化并绘制和，我们会得到下图

$$f(x) \propto e^{\frac{-x^2}{2}} \,,$$ $g(x) = e^{\frac{-x^2}{2}}$$c = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$f(x)$$g(x)$

虚线是我们未知的真实 pdf，实线是已知的。密度的形状保持不变，但函数在垂直方向上被拉伸或压缩，这取决于未知的归一化常数。$g(x)$

在贝叶斯模型中，我们通常只知道一个归一化常数的后验，但我们想了解后验分布的不同特征：如分布的均值、众数或分位数。好吧，显然的模式对应于的模式，因此不需要归一化常数。但是，要计算分布的平均值$g(x)$$f(x)$

$$E(X) = \int xf(x) dx = \int cx g(x) = c \int xg(x)dx\,.$$

即使您可以解决，也是未知的，并且您无法找到的平均值。这是可以使用 MCMC 的地方，因为它能够从的分布中抽取样本，而不需要归一化常数。$\int xg(x)dx$$c$$X$$X$$c$

除了Greenparker的其他评论和不错的回答之外，还需要对常数进行归一化，以便概率密度函数整合为一并且是适当的分布。

我们并不总是需要对概率密度进行归一化，例如，当我们使用最大似然估计或贝叶斯 MCMC 估计时，我们只需要知道值之间的相对关系。例如，如果您想通过最大化它的似然性来估计二项式分布，那么您唯一需要的是已知到归一化常数的二项式密度，即 . 常数是并且因为它不会改变任何关于寻找似然函数的最大值的东西，所以不需要它。$p$$p^k(1-p)^{n-k}$$\binom n k$$L(p)$

你可以问：那又怎样？如果我们可以使用它，那么为什么不总是使用它呢？问题是，虽然对于常用的分布我们知道归一化常数，但对于其他分布，它们不必很明显。例如，想象一个贝叶斯模型，其中是归一化常数，是参数兴趣。将先验乘以似然很容易，但要获得归一化常数，您需要积分，这是$f(\theta|x) = c^{-1} \,f(x|\theta) \,f(\theta)$$c$$\theta$$c = \int f(x|\theta) \,f(\theta) \,d\theta$更复杂（即使对于离散分布，具有可数有限支持，在某些情况下您需要对大量元素求和，这是计算密集型问题）。如果您正在处理复杂的多元分布，那么求解积分本身可能就是一个问题。希望我们有像 MCMC 这样的计算工具来处理形式为的贝叶斯模型，这使我们能够从这种分布中抽取样本并进行不知道常数的估计。$f(\theta|x) \propto f(x|\theta) \,f(\theta)$

因此，在某些情况下，分布已知为常数，而常数本身可能并不明显。此外，我们可以在不知道常数的情况下对分布进行许多数学运算。