如果您查看精度矩阵的光谱/特征分解（协方差矩阵的倒数），您可以更好地理解椭圆体的形状。您想查看此逆的特征值，而不是对角线元素。

只是对其他答案的补充：对于维度为 $k$的多元 Normal ，如果您遵循此规则，您可以从代数上看到原因。设置密度等于某个级别$l$，然后： \begin{align*} (2\pi)^{-k/2} |\Sigma|^{-1/2} \exp\left(-\frac {1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu) \right) &= l\\ \iff \exp\left(-\frac{1}{2} (x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu) \right) &= l'\\ \iff (x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu ) &= l''.\tag{*} \end{align*} (*) 是以$\mu$为中心的椭圆体的公式。这

对于您的第一个协方差矩阵，其逆矩阵的谱分解为$\Sigma^{-1} = P\Lambda P'$，其中 $$P = \left[\begin{array}{cc} P_1 & P_2 \end {array}\right] = \left[\begin{array}{cc} .707 & -.707\\ .707 & .707 \end{array}\right] $$ 和 $$ \Lambda = \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2/3 \end {数组}\右]。$$ 之所以看起来“被压扁”，是因为$\Lambda$的对角线不一样。这是因为半轴是$P_1/\lambda_1$（向上和向右矢量）和$P_2/\lambda_2$（向上和向左）。因为$\lambda_1$更大，这意味着$P_1/\lambda_1$是一个更短的向量。

如果我们习惯于查看协方差矩阵而不是它的逆矩阵怎么办？好吧，它们的光谱分解非常相关。因为$\Sigma^{-1} = P\Lambda P'$并且因为$P$是正交的，所以我们有 $$ \Sigma = P \Lambda^{-1}P'。$$ 试着把这两个分解相乘，你应该得到单位矩阵。这告诉我们的是，这两个矩阵具有相同的特征向量（因此它们具有相同的主轴），并且特征值是倒数。但是，我从精度矩阵开始，因为这就是密度公式中的内容。

更多示例：

如果$x$的元素是独立的，那么$\Sigma$是对角线，那么$\Sigma^{-1}$是对角线，那么(*)是 $$ \frac{(x_1 - \mu_1)^2} {\sigma_1^2} + \frac{(x_2 - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} = l''\tag{**} $$ 这仍然是一个椭圆，但它没有倾斜/旋转。

如果$x$的元素是独立的并且它们是相同的，那么$\sigma_1 = \sigma_2$和 (**) 变成一个圆圈。

假设您正在可视化名为 $(X,Y)$ 的向量的分布（假设具有二元正态分布）。

当 $X$ 和 $Y$ 具有相同的方差时，椭圆在两个轴上的投影具有相同的长度。这确实意味着它是一个圆圈。它可以是倾斜的。当 $X$ 和 $Y$ 不独立时，它不是一个圆。

当 $X$ 和 $Y$ 独立时，椭圆的长轴和短轴与轴对齐。这也不意味着它是一个圆，它可以被展平。

一个圆圈需要两者：

• $X$ 和 $Y$ 的独立性
• $X$ 和 $Y$ 具有相同的方差

这是当协方差矩阵 $\Sigma$ 是对角线且对角线恒定时。

考虑这个数字。注意圆形和虚线对角线是如何在正方形内部的。因此，圆是相关性为零时多元高斯轮廓的外观。虚线对角线是完全相关变量的轮廓。当相关性不等于零或一时，椭圆（椭圆）介于两者之间。正方形边的长度表示变量（边际）的方差（标准差）。

在这里，我调整了您的图片大小以使 x 轴和 y 轴比例相等，您可以看到椭圆如何适合正方形。我认为 Andrew Ng 的情节没有得到同等规模的事实只会增加混乱。您可以将各种椭圆形放入同一个正方形中。根据变量之间的相关性，您可以为相同的变量方差提供各种轮廓。

图片来自这个网站，与提问无关：）